동탄중 3학년 수학 2026 1학기 기말고사 분석

이차방정식의 정의를 정확히 이해하고 있는지 확인하는 문제입니다. 주어진 식을 정리했을 때 이차항의 계수가 0이 되는 조건을 찾을 수 있는지 평가합니다.

주어진 식의 양변을 전개합니다: a²(x² - 2x - 3) = 5ax² - 4x² - 2x → a²x² - 2a²x - 3a² = (5a - 4)x² - 2x → 모든 항을 좌변으로 이항하여 x에 대해 내림차순으로 정리합니다: (a² - 5a + 4)x² + (-2a² + 2)x - 3a² = 0 → 이 식이 x에 대한 이차방정식이 아니려면 이차항의 계수가 0이어야 합니다. 즉, a² - 5a + 4 = 0 입니다. → 이차방정식 a² - 5a + 4 = 0을 풀면 (a - 1)(a - 4) = 0 이므로 a = 1 또는 a = 4 입니다. → 따라서 모든 a의 값의 합은 1 + 4 = 5 입니다.

③

복잡한 식을 전개하여 내림차순으로 정리하고, 이차방정식의 성립 조건을 적용할 수 있어야 합니다.

연속하는 세 자연수의 관계를 이해하고, 주어진 조건을 이차방정식으로 세워 해를 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

가장 작은 수를 x라고 하면, 연속하는 세 자연수는 x, x+1, x+2가 됩니다. → '가장 작은 수의 제곱의 4배'는 4x², '나머지 두 수의 곱'은 (x+1)(x+2)입니다. → 조건에 따라 식을 세우면 4x² = (x+1)(x+2) + 34가 됩니다. → 식을 전개하여 정리하면 3x² - 3x - 36 = 0 이 되고, 양변을 3으로 나누면 x² - x - 12 = 0 입니다. → 인수분해하면 (x-4)(x+3) = 0 이고, x는 자연수이므로 x=4가 됩니다.

④

문장으로 된 조건을 정확한 수식으로 바꾸고, 이차방정식을 풀어 자연수 해를 찾는 능력이 필요합니다.

이차함수의 꼭짓점과 대칭성을 이용하여 그래프 위의 점의 좌표를 구하고, 이를 바탕으로 다각형의 넓이를 계산하여 미지수를 찾는 능력을 평가하는 문항입니다.

꼭짓점이 A(-2, 0)이므로 이차함수의 식을 y = a(x+2)^2으로 둡니다. → 두 점 B, C의 y좌표가 같고 선분 BC의 길이가 8이므로, 대칭축 x = -2를 기준으로 B와 C의 x좌표는 각각 -6, 2가 됩니다. → 사각형 OABC는 사다리꼴이 아니므로, 삼각형 OAB와 삼각형 OBC의 넓이의 합으로 구하거나, 전체 사다리꼴에서 삼각형을 빼는 방식으로 넓이를 구합니다. 점 C의 좌표를 (2, k)라 하면 B는 (-6, k)입니다. 사각형 OABC의 넓이는 삼각형 OAC와 삼각형 ABC의 넓이의 합으로 생각할 수 있습니다. 밑변을 OA(길이 2)로 보면 높이는 -k이고, 밑변을 BC(길이 8)로 보면 높이는 -k입니다. 따라서 넓이는 1/2 * 2 * (-k) + 1/2 * 8 * (-k) = -5k = 20이 되어 k = -4입니다. → 점 C(2, -4)를 y = a(x+2)^2에 대입하면 -4 = a(2+2)^2, 즉 16a = -4이므로 a = -1/4입니다. → 이차함수의 식은 y = -1/4(x+2)^2 = -1/4x^2 - x - 1이므로 a = -1/4, b = -1, c = -1입니다. 따라서 a+b+c = -9/4입니다.

①

이차함수의 대칭성을 이해하고, 주어진 넓이 조건을 활용하여 미지수를 정확하게 계산해 내는 능력이 필요합니다.

이차함수 그래프 위의 점을 문자로 나타내고, 선분의 길이 비를 이용해 다른 점의 좌표를 구할 수 있는지 묻는 문항입니다. 도형의 비례 관계와 이차함수 식을 연결하여 해결하는 능력을 확인합니다.

점 A의 x좌표를 t라고 하면, 점 A는 y=x^2 위의 점이므로 좌표는 (t, t^2)이 됩니다. → 선분 OA와 AB의 길이 비가 1:3이므로, 원점 O에서 점 B까지의 x좌표 거리는 점 A까지 거리의 4배인 4t가 됩니다. → 점 A와 B는 원점을 지나는 같은 직선 위에 있으므로, 점 B의 y좌표도 점 A의 y좌표의 4배인 4t^2이 되어 점 B의 좌표는 (4t, 4t^2)입니다. → 점 B는 이차함수 y=ax^2 그래프 위의 점이기도 하므로, 식에 대입하면 4t^2 = a(4t)^2이 됩니다. → 식을 정리하면 16at^2 = 4t^2이 되고, 양변을 t^2으로 나누면 a = 1/4을 구할 수 있습니다.

①

선분의 길이 비를 좌표평면 위에서 x좌표와 y좌표의 비율로 정확하게 변환하여 점의 좌표를 설정하는 능력이 필요합니다.

거리, 속력, 시간에 대한 관계를 이해하고, 이를 바탕으로 이차방정식을 세워 문제를 해결할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

평소 걷는 속력을 시속 $x\text{km}$라고 둡니다. → 평소 걸리는 시간은 $\frac{2}{x}$시간, 느리게 걸었을 때 걸리는 시간은 $\frac{2}{x-2}$시간입니다. → 16분 늦게 도착했으므로, 시간 차이를 방정식으로 세웁니다: $\frac{2}{x-2}-\frac{2}{x}=\frac{16}{60}$. → 방정식을 정리하면 $x^2-2x-15=0$이 됩니다. → 인수분해하여 $(x-5)(x+3)=0$을 풀면 $x=5$ (속력은 양수)가 되어 정답은 시속 $5\text{km}$입니다.

3

문장으로 주어진 상황을 수학적 기호와 식으로 정확하게 번역하고, 단위 변환에 주의하여 이차방정식을 풀어내는 능력이 필요합니다.

도형의 넓이와 둘레를 구하는 과정에서 다항식의 곱셈 공식을 활용할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 미지수를 설정하고 주어진 조건을 식으로 나타내어 해결하는 능력을 봅니다.

선분 BC의 길이를 2x로 둡니다. → 선분 AC의 길이는 24 - 2x가 됩니다. → 색칠한 부분의 넓이는 (큰 반원의 넓이) - (중간 반원의 넓이) - (작은 반원의 넓이)입니다. 식을 세우면 1/2 * π * 12^2 - 1/2 * π * (12-x)^2 - 1/2 * π * x^2 = 32π 가 됩니다. → 이 이차방정식을 풀면 x=4 또는 x=8이 나오는데, AC > BC 이므로 x=4가 되어 BC의 길이는 8입니다. → 색칠한 부분의 둘레는 세 반원의 호의 길이의 합이므로 12π + (12-4)π + 4π = 24π가 됩니다.

④

도형의 성질을 이용하여 미지수를 설정하고, 넓이와 둘레에 대한 식을 정확히 세워 이차방정식을 풀 수 있어야 합니다.

이차함수의 그래프의 성질을 이해하고, 주어진 조건을 활용하여 미지수의 값을 구하는 능력을 평가합니다. 특히, 도형의 넓이 비를 이용하여 좌표를 찾고 식을 세우는 복합적인 문제 해결력을 봅니다.

이차함수 $y=a(x-2{)}^2+q$가 원점 $(0,0)$을 지나므로 대입하면 $0=4a+q$, 즉 $q=-4a$입니다. 꼭짓점 A의 좌표는 $(2,-4a)$가 됩니다. → $△BOD$와 $△ADC$의 넓이 비가 $1:2$이고, $\angle BDO$와 $\angle ADC$는 맞꼭지각으로 같으므로, 두 삼각형의 넓이 비는 $\frac{1}{2}\times OD\times BD\times \sin (\angle BDO):\frac{1}{2}\times CD\times AD\times \sin (\angle ADC)=(OD\times BD):(CD\times AD)=1:2$ 입니다. → 점 B$(-2,0)$, 점 A$(2,-4a)$를 지나는 직선의 방정식은 $y=-a(x+2)$ 입니다. 이 직선의 y절편이 점 D이므로 D의 좌표는 $(0,-2a)$ 입니다. → 점 C의 좌표가 $(0,-\frac{9}{2}{a}^2-2)$이므로 선분 OD의 길이는 $2a$, 선분 CD의 길이는 $\frac{9}{2}{a}^2+2-2a$ 입니다. 점 B에서 y축까지의 거리는 2, 점 A에서 y축까지의 거리는 2이므로 $△BOD$와 $△AOD$의 넓이는 같습니다. → $△BOD:△ADC=1:2$ 이고 $△BOD=△AOD$ 이므로 $△AOD:△ADC=1:2$ 입니다. 두 삼각형은 높이가 같으므로 밑변의 길이 비 $OD:CD=1:2$ 가 성립합니다. 따라서 $2\times 2a=\frac{9}{2}{a}^2+2-2a$ 이고, 정리하면 $9a^2-12a+4=0$, $(3a-2{)}^2=0$ 이 되어 $a=\frac{2}{3}$ 입니다.

②

이차함수의 식을 세우고, 직선의 방정식을 구하여 교점의 좌표를 찾은 후, 삼각형의 넓이 비를 이용하여 방정식을 푸는 종합적인 문제 해결 능력이 필요합니다.

도형에서의 점의 이동을 이해하고, 이를 바탕으로 이차방정식을 세워 문제를 해결할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

점 P와 Q의 이동 거리를 x에 대한 식으로 나타내기 → 선분 PB와 BQ의 길이를 x로 표현하기 → 삼각형 PBQ의 넓이 공식을 이용하여 이차방정식 세우기 → 이차방정식을 ax²+bx+c=0 꼴로 정리하기 → 인수분해를 통해 x의 값 구하기 → 문제의 조건에 맞는 x의 값 찾기

[1-1] 선분 PB와 BQ의 길이를 x에 대한 식으로 바르게 나타내면 2점 부여 [1-2] 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 이차방정식을 세우고 ax²+bx+c=0 꼴로 바르게 정리하면 2점 부여 [1-3] 이차방정식을 바르게 풀고, 조건에 맞는 답을 모두 구하면 3점 부여

점의 이동 속력과 시간을 이용하여 선분의 길이를 문자로 나타내고, 이를 활용하여 이차방정식을 세우고 풀 수 있는 능력이 필요합니다.

이차함수 그래프 위의 점의 좌표를 이용하여 미지수를 구하고, 도형의 성질을 활용하여 넓이를 계산할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

점 B(3, 3)이 이차함수 $y=a{x}^2$ 그래프 위에 있으므로 대입하여 $a$의 값을 구합니다. → $a=\frac{1}{3}$이므로 이차함수 식은 $y=\frac{1}{3}{x}^2$이 됩니다. → 선분 CD가 AB와 평행하고 길이가 12이므로, y축 대칭성에 의해 점 C의 x좌표는 6입니다. → $x=6$을 $y=\frac{1}{3}{x}^2$에 대입하여 점 C의 y좌표(12)를 구합니다. → 사다리꼴의 윗변(12), 아랫변(6), 높이(12-3=9)를 이용하여 넓이를 계산합니다.

[2-1] 점 B(또는 A)의 좌표를 대입하여 $a$의 값을 정확히 구하고 과정을 서술했는가 (2점) [2-2] 점 C의 좌표를 정확히 구했는가 (3점) [2-2] 사다리꼴의 넓이를 구하는 식을 세우고 정확한 값을 도출했는가 (3점)

이차함수 그래프의 대칭성을 이해하고, 주어진 조건을 좌표로 변환하여 도형의 넓이를 구하는 능력이 필요합니다.