한백중 3학년 수학 2026 1학기 기말고사 분석

수학팀스영어수학학원 · 2026.10.02 6

총점

문항 수

난이도 지수4.6/ 10

▼

쉬움보통어려움

01출제 범위

단원별 배점

이차방정식의 풀이부터 이차함수의 그래프와 평행이동까지 출제되었으며, 이차함수 단원의 배점이 51점으로 가장 높았습니다.

총평

이차함수의 그래프 해석과 평행이동 개념을 정확히 꿰뚫어야 고득점이 가능한 시험이었습니다.

이번 한백중 3학년 기말고사는 이차함수 단원의 비중이 절반을 넘기며 그래프의 성질을 묻는 문항이 다수 출제되었습니다. 지난 중간고사보다 난이도 지수가 소폭 상승했으나, 대부분 중간 난이도에 집중되어 체감 난이도가 급격히 높지는 않은 편이었습니다. 단순 계산보다는 주어진 식을 완전제곱식으로 변형하고 꼭짓점과 축의 방정식을 찾아내는 개념 이해형 문항이 주를 이룹니다. 특히 이차함수의 평행이동과 대칭이동을 묻는 12번과 13번 문항은 기본기를 탄탄히 다지지 않은 학생들에게 혼란을 주었을 것입니다.

가장 변별력이 컸던 문항은 직사각형과 포물선이 만나는 조건의 범위를 구하는 16번 객관식 문제입니다. 그래프가 특정 점을 지날 때의 a값을 각각 구하고 부등식으로 범위를 설정해야 하므로 오답률이 높았습니다. 또한 18번 문항은 꼭짓점 좌표를 직선의 방정식에 대입하여 p의 값을 구하는 과정에서 부호 실수를 유발하기 쉬운 함정이 존재합니다. 팀스에서는 내신 대비 기간 동안 미지수로 좌표를 설정하고 평행이동하는 고난도 유형을 집중적으로 연습했으며, 학교 프린트 변형 문제들을 반복해서 다루어 학생들이 18번과 같은 문항에서 당황하지 않고 풀이를 이어나갈 수 있었습니다.

이차방정식과 이차함수는 고등학교 수학의 뼈대가 되는 단원이므로 이번 시험이 끝났더라도 오답을 완벽히 짚고 넘어가야 합니다. 다음 시험 범위인 삼각비 단원 역시 도형 안에서 직각삼각형을 찾아내고 특수각의 비율을 적용하는 공간 지각력과 연산력이 동시에 요구되는 영역입니다. 평소 과제를 수행할 때 단순히 답을 내는 것에 그치지 않고, 풀이 과정을 논리적으로 전개하는 습관을 들여야 서술형 감점을 막을 수 있습니다. 고난도 문제 풀이 비중을 점진적으로 늘려가며 낯선 유형에 대한 적응력을 키우는 훈련이 뒷받침되어야 최상위권 도약이 수월해집니다.

02예년 시험과 비교

한백중 3학년 수학 최근 2번의 시험

난이도 지수

1~10, 문항 난이도와 배점을 반영한 팀스 환산 지수 · 점선 = 같은 학년 다른 학교 평균

서술형 배점

시험마다 서술형 점수

지난 1학기 중간고사(난이도 4.2)에 비해 난이도가 소폭 상승했으며, 단순 계산보다는 적용 유형의 배점이 크게 늘었습니다.

03문항 지도

시험 문제 전체를 한눈에 보는 그림입니다.

•네모 칸 하나가 문제 하나입니다.
•라벤더색 칸은 객관식, 주황색 칸(점선 테두리)은 서술형(논술형) 문제입니다.
•색이 진할수록 어려운 문제입니다.
•칸을 누르면 그 문제의 해설로 이동합니다.

객관식상 1문항중 13문항하 6문항

서술형상 0문항중 2문항하 0문항

04문항별 해설

1번부터 끝까지 22문항을 순서대로 실었습니다.

•점수를 가른 어려운 문제와 서술형 8문항(4·9·14·16·18·19번, 논술형 1·2번)은 심층 분석으로 펼쳐 두었습니다.
•심층 분석에는 출제 의도, 풀이 과정, 틀리기 쉬운 곳, 공부 방법까지 담았습니다.
•나머지 문항은 누르면 문항 그림과 해설이 펼쳐집니다.
•오타 등으로 정답이 틀릴 수 있습니다. 오류가 있을 경우 학원에 알려 주세요.

출제 의도

이차방정식의 근의 공식을 이해하고, 근호 안의 값이 어떤 조건을 만족해야 해가 유리수가 되는지 파악할 수 있는지 묻는 문항입니다. 또한 조건을 만족하는 자연수를 찾고 그 곱을 계산하는 능력을 평가합니다.

풀이 과정

이차방정식

2 x^{2} - 3 x + a - 2 = 0

의 근을 근의 공식으로 구합니다. →

x = \frac{3 \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot ( a - 2 )}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 9 - 8 ( a - 2 )}{4} = \frac{3 \pm 25 - 8 a}{4}

→ 해가 모두 유리수가 되려면 근호 안의 식

25 - 8 a

가

0

또는 어떤 자연수의 제곱수(완전제곱수)가 되어야 합니다. →

a

는 자연수이므로

25 - 8 a \geq 0

에서

a \leq 3.125

입니다. 따라서 가능한 자연수

a

는

1, 2, 3

입니다. →

a = 1

일 때

25 - 8 = 17

(제곱수 아님),

a = 2

일 때

25 - 16 = 9 = 3^{2}

(제곱수),

a = 3

일 때

25 - 24 = 1 = 1^{2}

(제곱수)입니다. → 조건을 만족하는 자연수

a

는

2, 3

이고, 이들의 곱은

2 \times 3 = 6

입니다.

함정

근호 안의 값이 제곱수가 되어야 한다는 조건은 찾았으나,

0

이 되는 경우를 놓치거나 자연수

a

의 범위를 잘못 구하여 오답을 고를 수 있습니다. 또는 구한

a

의 값들을 곱하지 않고 더해서 다른 답을 선택할 수도 있습니다.

정답

①

필요한 실력

이차방정식의 근의 공식을 정확히 적용하고, 무리수가 유리수가 되기 위한 근호 안의 조건을 이해하여 만족하는 자연수를 찾을 수 있어야 합니다.

학습 대안

이차방정식의 근의 공식을 완벽하게 암기하고, 다양한 형태의 이차방정식에 적용하는 연습을 합니다.
근호 안의 값이 완전제곱수가 되어야 근호가 벗겨져 유리수가 된다는 개념을 복습합니다.
조건을 만족하는 미지수를 찾을 때, 문제에서 주어진 조건(예: 자연수)을 꼼꼼히 확인하고 범위를 좁혀가는 훈련을 합니다.
문제를 끝까지 읽고 구하라는 것(예: 값들의 곱)을 정확히 계산하는 습관을 기릅니다.

출제 의도

이차방정식의 근의 의미를 이해하고, 주어진 근을 대입하여 미지수의 값을 구한 뒤 다른 이차방정식의 해를 찾을 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

첫 번째 이차방정식

x^{2} - x + 4 k = 0

에 한 근

x = k

를 대입합니다. →

k^{2} - k + 4 k = 0

을 정리하면

k^{2} + 3 k = 0

이 됩니다. →

k (k + 3) = 0

에서

k = 0

또는

k = - 3

인데, 조건에서

k \neq = 0

이므로

k = - 3

입니다. → 구한

k = - 3

을 두 번째 이차방정식

2 x^{2} - k x + 1 = 0

에 대입하면

2 x^{2} + 3 x + 1 = 0

이 됩니다. → 인수분해하면

(2 x + 1) (x + 1) = 0

이므로 해는

x = - 1

또는

x = - \frac{1}{2}

입니다.

함정

k값을 구하는 과정에서 k=0을 제외하지 않거나, 두 번째 방정식에 대입할 때 부호를 헷갈려 잘못된 방정식을 풀면 다른 오답을 고를 수 있습니다. 특히 부호 실수로 ④번을 고르기 쉽습니다.

정답

③

필요한 실력

방정식의 근을 대입하여 미지수를 구하고, 새로운 이차방정식을 정확하게 인수분해하여 해를 구하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

이차방정식의 한 근이 주어졌을 때, 그 근을 x에 대입하여 미지수를 구하는 연습을 반복하세요.
조건(예: k ≠ 0)을 놓치지 않고 확인하는 습관을 기르세요. 문제를 풀 때 조건에 밑줄을 치는 것도 좋은 방법입니다.
이차방정식의 인수분해를 빠르고 정확하게 할 수 있도록 다양한 유형의 인수분해 문제를 하루 10문제씩 꾸준히 풀어보세요.

출제 의도

이차함수 그래프의 평행이동 개념을 이해하고, 일반형을 표준형으로 바꾸어 평행이동한 양을 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

이차함수

y = - 2 x^{2} - 12 x - 13

을 표준형으로 바꿉니다. →

y = - 2 (x^{2} + 6 x) - 13

→

y = - 2 (x^{2} + 6 x + 9 - 9) - 13

→

y = - 2 (x + 3)^{2} + 18 - 13

→

y = - 2 (x + 3)^{2} + 5

→ 따라서

y = - 2 x^{2}

의 그래프를

x

축 방향으로

- 3

만큼,

y

축 방향으로

5

만큼 평행이동한 것입니다. →

a = - 2

p = - 3

q = 5

이므로

a + p + q = - 2 - 3 + 5 = 0

입니다.

함정

일반형을 표준형으로 바꾸는 과정에서 부호나 상수를 잘못 계산하여

p

나

q

의 값을 틀리게 구하면 오답을 고를 수 있습니다. 특히 완전제곱식을 만들 때 더하고 빼는 상수를 괄호 밖으로 꺼내는 과정에서 실수가 잦습니다.

정답

②

필요한 실력

이차함수의 일반형을 표준형으로 능숙하게 변형하고, 평행이동의 의미를 정확히 파악하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

이차함수의 일반형 $y = a x^{2} + b x + c$ 를 표준형 $y = a (x - p)^{2} + q$ 로 바꾸는 연습을 반복하세요. 하루에 5문제씩 꾸준히 풀어보는 것이 좋습니다.
평행이동의 개념을 복습하세요. $x$ 축 방향으로 $p$ 만큼 이동하면 $x$ 대신 $x - p$ 를, $y$ 축 방향으로 $q$ 만큼 이동하면 $y$ 대신 $y - q$ 를 대입한다는 원리를 확실히 이해해야 합니다.
계산 실수를 줄이기 위해 풀이 과정을 생략하지 말고 차근차근 적는 습관을 들이세요.

출제 의도

이차함수의 그래프가 주어진 도형과 만나기 위한 조건을 이해하고, 이를 만족하는 미지수의 범위를 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 특히, 그래프가 지나는 특정한 점들을 기준으로 범위를 설정하는 능력을 확인합니다.

풀이 과정

직사각형 OABC의 꼭짓점 좌표를 구합니다. O(0, 0), A(0, 4), B(-2, 4), C(-2, 0)입니다. → 이차함수 y = a(x - 2)^2 - 3의 그래프가 직사각형과 만나려면, 그래프가 점 A(0, 4)를 지날 때와 점 C(-2, 0)을 지날 때 사이를 지나야 합니다. → 점 A(0, 4)를 지날 때의 a 값을 구합니다: 4 = a(0 - 2)^2 - 3, 4a = 7, a = 7/4. → 점 C(-2, 0)을 지날 때의 a 값을 구합니다: 0 = a(-2 - 2)^2 - 3, 16a = 3, a = 3/16. → 따라서 두 점에서 만나기 위한 a의 범위는 3/16 < a < 7/4 입니다.

함정

그래프가 점 B(-2, 4)를 지날 때를 경계로 잘못 생각하여 오답을 고를 수 있습니다. 또는 부등호의 방향을 반대로 생각하거나 등호를 포함시키는 실수를 할 수 있습니다.

정답

⑤

필요한 실력

이차함수의 그래프의 폭과 평행이동을 이해하고, 특정 점을 지날 때의 미지수 값을 정확히 계산할 수 있어야 합니다.

학습 대안

이차함수의 식 y = a(x-p)^2 + q 에서 a, p, q의 역할과 그래프의 모양 변화를 정확히 이해하세요.
그래프가 특정 점을 지날 때, 그 점의 좌표를 식에 대입하여 미지수를 구하는 연습을 반복하세요.
도형과 이차함수 그래프가 만나는 조건을 묻는 다양한 유형의 문제를 풀어보며, 경계가 되는 점을 찾는 감각을 기르세요.

출제 의도

이차함수의 표준형에서 꼭짓점의 좌표를 정확히 찾고, 그 점이 주어진 직선 위에 있다는 조건을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

이차함수

y = - \frac{1}{3} (x + p)^{2} - p^{2} + 2 p

의 꼭짓점 좌표를 구합니다. 꼭짓점은

(- p, - p^{2} + 2 p)

입니다. → 이 꼭짓점이 직선

y = 4 x - 7

위에 있으므로,

x

에

- p

y

에

- p^{2} + 2 p

를 대입합니다. →

- p^{2} + 2 p = 4 (- p) - 7

식을 정리하면

p^{2} - 6 p - 7 = 0

이 됩니다. → 이차방정식을 인수분해하면

(p - 7) (p + 1) = 0

이므로

p = 7

또는

p = - 1

입니다. → 문제 조건에서

p > 0

이므로

p = 7

입니다.

함정

이차방정식을 풀고 나온 두 근

p = 7, - 1

중에서 조건

p > 0

을 확인하지 않고 아무 값이나 선택하거나, 꼭짓점의

x

좌표 부호를 헷갈려

(p, - p^{2} + 2 p)

로 잘못 대입하면 오답을 고를 수 있습니다.

정답

④

필요한 실력

이차함수 식에서 꼭짓점의 좌표를 읽어내고, 점이 그래프 위에 있다는 의미를 이해하여 대입을 통해 방정식을 세우고 풀 수 있어야 합니다.

학습 대안

이차함수 $y = a (x - p)^{2} + q$ 꼴에서 꼭짓점의 좌표가 $(p, q)$ 임을 확실히 암기하고, 다양한 식에서 꼭짓점을 찾는 연습을 매일 10문제씩 해보세요.
'점이 그래프 위에 있다' 또는 '그래프가 점을 지난다'는 표현이 나오면 무조건 그 점의 좌표를 식에 대입하는 훈련을 하세요.
이차방정식을 푼 후에는 반드시 문제에 주어진 조건(예: $p > 0$ )에 맞는 해인지 확인하는 습관을 들이세요.

출제 의도

두 이차함수의 꼭짓점 좌표를 구하고, 한 그래프가 다른 그래프의 꼭짓점을 지날 때의 조건을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

첫 번째 이차함수

y = x^{2} - 3

의 꼭짓점 좌표를 구합니다. 꼭짓점은

(0, - 3)

입니다. → 두 번째 이차함수

y = a (x + 1)^{2} + b

의 꼭짓점 좌표를 구합니다. 꼭짓점은

(- 1, b)

입니다. → 문제에서 '두 그래프가 꼭짓점을 지날 때'라고 했으므로, 서로의 꼭짓점을 지나는 상황을 가정합니다. 하지만 문맥상 두 번째 그래프가 첫 번째 그래프의 꼭짓점을 지나는 것으로 해석하는 것이 자연스럽습니다. (또는 서로 지나는 경우를 모두 확인해야 할 수도 있으나, 보통 이런 문제는 한쪽이 다른 쪽을 지나는 경우를 묻습니다. 여기서는 서로 지나는 것으로 해석하여 풀이합니다.) →

y = a (x + 1)^{2} + b

가

(0, - 3)

을 지납니다. 대입하면

- 3 = a (0 + 1)^{2} + b

, 즉

a + b = - 3

입니다. →

y = x^{2} - 3

이

(- 1, b)

를 지납니다. 대입하면

b = (- 1)^{2} - 3

, 즉

b = - 2

입니다. →

b = - 2

를

a + b = - 3

에 대입하면

a - 2 = - 3

이므로

a = - 1

입니다. 따라서

a = - 1, b = - 2

입니다.

함정

문제의 '두 그래프가 꼭짓점을 지날 때'라는 표현이 모호하여, 어느 그래프가 어느 꼭짓점을 지나는지 헷갈릴 수 있습니다. 한쪽만 대입하고 다른 조건을 찾지 못해 헤매거나, 계산 실수로 ⑤번을 고를 수 있습니다.

정답

②

필요한 실력

이차함수의 표준형에서 꼭짓점의 좌표를 정확히 읽어내고, 그래프가 특정 점을 지난다는 조건이 주어졌을 때 식에 대입하여 미지수를 구하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

이차함수 $y = a (x - p)^{2} + q$ 꼴에서 꼭짓점 $(p, q)$ 를 바로 찾는 연습을 반복하세요.
그래프가 어떤 점을 '지난다'는 것은 그 점의 좌표를 함수 식에 대입했을 때 등식이 성립한다는 의미임을 명확히 이해하고, 대입하여 계산하는 연습을 하세요.
문장으로 된 수학 문제를 읽고, 주어진 조건을 수식으로 바꾸는 연습을 꾸준히 하세요.

출제 의도

도형에서의 점의 이동을 이해하고, 이를 바탕으로 이차방정식을 세워 문제를 해결할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 특히, 시간에 따른 선분의 길이 변화를 문자로 나타내고 넓이 공식을 적용하는 능력을 봅니다.

풀이 과정

점 P와 Q의 이동 거리를 x에 대한 식으로 나타냅니다. (AP = 2x, BQ = 3x) → 선분 PB의 길이를 구합니다. (PB = AB - AP = 12 - 2x) → 삼각형 PBQ의 넓이 공식을 이용하여 이차방정식을 세웁니다. (1/2 * PB * BQ = 24) → 이차방정식을 풀어 x의 값을 구합니다.

채점 포인트

1-1: PB와 BQ의 길이를 x에 대한 식으로 정확히 나타내면 2점 부여. 1-2: 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 올바른 이차방정식을 세우면 3점 부여. 1-3: 세운 이차방정식을 정확히 풀어 x의 값을 모두 구하면 2점 부여.

감점 요인

점 P가 A에서 출발하므로 PB의 길이를 2x로 잘못 생각하는 실수가 잦습니다. 또한, 삼각형의 넓이를 구할 때 1/2을 곱하는 것을 잊어버려 오답이 나오는 경우가 있습니다.

모범 답안

1-1. 점 P는 매초 2cm씩 이동하므로 AP = 2x cm입니다. 따라서 PB = 12 - 2x (cm)입니다. 점 Q는 매초 3cm씩 이동하므로 BQ = 3x (cm)입니다. 1-2. △PBQ의 넓이는 1/2 * PB * BQ 이므로, 1/2 * (12 - 2x) * 3x = 24 입니다. 이를 정리하면 3x² - 18x + 24 = 0 입니다. 1-3. 3x² - 18x + 24 = 0 의 양변을 3으로 나누면 x² - 6x + 8 = 0 입니다. 인수분해하면 (x - 2)(x - 4) = 0 이므로 x = 2 또는 x = 4 입니다. (단, 0 < x < 6 이므로 두 값 모두 성립합니다.)

필요한 실력

시간에 따른 점의 이동 거리를 문자로 표현하고, 이를 활용하여 도형의 넓이에 대한 이차방정식을 세우고 풀 수 있어야 합니다.

학습 대안

도형 위를 움직이는 점에 대한 활용 문제를 하루 3문제씩 풀어보며 식 세우는 연습을 합니다.
문제를 읽을 때 점의 출발 위치와 이동 방향을 그림에 직접 표시하는 습관을 들입니다.
이차방정식의 활용 문제에서 구한 해가 문제의 조건(예: 길이는 양수, 최대 길이 제한 등)에 맞는지 확인하는 과정을 반드시 거칩니다.

출제 의도

이차함수의 그래프 위의 점의 좌표를 문자를 사용하여 나타내고, 두 점 사이의 거리를 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 그래프의 성질과 좌표 평면 위에서의 선분의 길이를 이해하고 적용하는 능력을 봅니다.

풀이 과정

점 A는 y = 4x² 위의 점이고 y좌표가 k이므로, k = 4x²에서 x² = k/4. 제1사분면의 점이므로 x = (1/2)√k → 점 B는 y = (1/4)x² 위의 점이고 y좌표가 k이므로, k = (1/4)x²에서 x² = 4k. 제1사분면의 점이므로 x = 2√k → 선분 AB의 길이는 점 B의 x좌표에서 점 A의 x좌표를 뺀 값과 같으므로, 2√k - (1/2)√k = 6 → 식을 정리하면 (3/2)√k = 6, √k = 4 → 양변을 제곱하여 k = 16을 구합니다.

채점 포인트

2-1: 점 A의 x좌표를 k에 대한 식으로 바르게 나타내고 풀이 과정을 쓴 경우 (2점) 2-2: 점 B의 x좌표를 k에 대한 식으로 바르게 나타내고 풀이 과정을 쓴 경우 (2점) 2-3: AB=6을 이용하여 식을 세우고(2점), 양수 k의 값을 정확히 구한 경우(2점) (총 4점)

감점 요인

1. y좌표가 주어졌을 때 x좌표를 구하는 과정에서 제곱근을 취할 때 양수/음수 조건을 고려하지 않아 실수할 수 있습니다. 제1사분면이라는 조건(x>0)을 놓치면 안 됩니다. 2. 선분 AB의 길이를 구할 때, 두 점의 x좌표의 차이를 구해야 하는데 식을 잘못 세우거나 계산 실수를 할 수 있습니다. 3. 마지막에 √k = 4에서 k값을 구할 때 제곱을 하지 않고 k=2로 잘못 계산하는 실수가 잦습니다.

모범 답안

2-1. 점 A는 제1사분면 위의 점이고 y = 4x² 그래프 위에 있으므로, y에 k를 대입하면 k = 4x², x² = k/4입니다. x > 0이므로 점 A의 x좌표는 (1/2)√k 입니다. 2-2. 점 B는 제1사분면 위의 점이고 y = (1/4)x² 그래프 위에 있으므로, y에 k를 대입하면 k = (1/4)x², x² = 4k입니다. x > 0이므로 점 B의 x좌표는 2√k 입니다. 2-3. 선분 AB의 길이는 점 B의 x좌표에서 점 A의 x좌표를 뺀 값입니다. 따라서 2√k - (1/2)√k = 6 입니다. 식을 정리하면 (3/2)√k = 6 이고, √k = 4 가 됩니다. 양변을 제곱하면 k = 16 입니다.

필요한 실력

이차함수 식에 y값을 대입하여 x값을 문자로 표현하고, 무리수 방정식을 정확하게 풀 수 있는 계산 능력이 필요합니다.

학습 대안

이차함수 그래프 위의 점의 좌표를 문자로 설정하는 연습을 하세요. 하루에 3문제씩, y좌표가 주어졌을 때 x좌표를 구하는 식을 세워보세요.
제곱근이 포함된 방정식 풀이를 복습하세요. 양변을 제곱하여 미지수를 구하는 과정을 실수 없이 해내는 연습이 필요합니다.
서술형 답안 작성 시, '제1사분면 위의 점이므로 x>0'과 같은 조건과 근거를 명확히 적는 훈련을 하세요.

05다음 시험 대비 계획

이번 시험 경향으로 본 이 학교 맞춤 공부 순서

4주 전

삼각비 특수각 암기 및 기본 도형 적용 연습
이차함수 오답 노트 작성 및 고등 수학 연계 개념 복습

2주 전

학교 프린트 및 교과서 변형 고난도 문항 풀이
입체도형 내부의 직각삼각형을 찾는 공간 지각력 훈련

1주 전

실전 모의고사를 통한 시간 배분 및 서술형 답안 작성 연습
자주 틀리는 부호 실수 및 연산 오류 최종 점검

팀스영어수학학원 분석 · 난이도와 해설은 학원 분석 기준이며 학교 공식 자료가 아닙니다