한백고 1학년 수학 2026 1학기 기말고사 분석
수학팀스영어수학학원 · 2026.10.05 3
총점
문항 수
난이도 지수6.1/ 10
▼
쉬움보통어려움
01출제 범위
단원별 배점
경우의 수 단원이 35점으로 가장 큰 비중을 차지했으며, 행렬과 이차부등식 등 대수 파트가 고르게 출제되었습니다.
총평
경우의 수 비중이 압도적으로 높았으며, 행렬의 주기성과 부등식 조건 분류가 상위권을 갈랐습니다.
이번 한백고 1학년 기말고사는 예년과 달리 서술형 문항 없이 객관식 20문항으로만 구성되었습니다. 난이도 지수는 4.8로 지난 시험의 5.3보다 다소 낮아져 체감 난이도는 평이했습니다. 다만 경우의 수 단원이 35점이라는 압도적인 비중을 차지했고, 적용을 요구하는 문항이 45점 이상 배점되어 단순 공식 암기만으로는 고득점을 받기 어려웠습니다. 행렬과 이차부등식 단원에서도 계산 실수나 조건 누락을 유도하는 문항이 다수 배치되었습니다.
상위권 학생들의 점수를 가른 곳은 13번 이차부등식 문항과 15번 행렬 문항이었습니다. 13번은 판별식과 매개변수의 범위를 동시에 고려해야 해서 조건 분류에 익숙하지 않은 학생들은 오답을 고르기 쉬웠습니다. 15번은 케일리-해밀턴 정리를 활용해 행렬의 주기성을 파악하고 순서쌍을 찾는 문제로 시간이 꽤 소요되었습니다. 팀스에서는 수업 시간에 케일리-해밀턴 정리와 행렬의 교환법칙을 깊이 있게 다루었고, 부등식에서 구간을 나누어 푸는 훈련을 집중적으로 진행해 우리 학생들이 13번과 15번을 수월하게 풀어낼 수 있었습니다. 19번 경우의 수 문항 역시 어른과 어린이의 탑승 조건을 세밀하게 나누어야 해서 까다로웠습니다.
다음 시험을 준비할 때는 고난도 문항에 대한 두려움을 없애고 스스로 케이스를 분류하는 능력을 길러야 합니다. 18번 중복조합 문제나 20번 부등식 정수 해 문제처럼 조건이 복잡한 문항은 평소에 식을 깔끔하게 정리하는 습관이 배어있지 않으면 실전에서 당황하게 됩니다. 팀스에서는 학생들이 풀 수 있는 난이도의 문제부터 시작해 점진적으로 고난도 문항에 접근하도록 지도하고 있습니다. 앞으로도 복잡한 조건이 주어진 함수나 방정식 문제를 풀 때, 스스로 경우를 나누고 끝까지 답을 도출해 내는 지구력을 기르는 방향으로 학습을 진행해야 합니다.
02예년 시험과 비교
한백고 1학년 수학 최근 2번의 시험
난이도 지수
1~10, 문항 난이도와 배점을 반영한 팀스 환산 지수
서술형 배점
시험마다 서술형 점수
예년과 달리 서술형 문항이 출제되지 않았고, 전체적인 난이도 지수는 5.3에서 4.8로 다소 낮아졌습니다.
03문항 지도
시험 문제 전체를 한눈에 보는 그림입니다.
- •네모 칸 하나가 문제 하나입니다.
- •라벤더색 칸은 객관식, 주황색 칸(점선 테두리)은 서술형(논술형) 문제입니다.
- •색이 진할수록 어려운 문제입니다.
- •칸을 누르면 그 문제의 해설로 이동합니다.
객관식상 4문항중 11문항하 5문항
04문항별 해설
1번부터 끝까지 20문항을 순서대로 실었습니다.
- •점수를 가른 어려운 문제와 서술형 6문항(13·15·16·18·19·20번)은 심층 분석으로 펼쳐 두었습니다.
- •심층 분석에는 출제 의도, 풀이 과정, 틀리기 쉬운 곳, 공부 방법까지 담았습니다.
- •나머지 문항은 누르면 문항 그림과 해설이 펼쳐집니다.
- •오타 등으로 정답이 틀릴 수 있습니다. 오류가 있을 경우 학원에 알려 주세요.
출제 의도
이차부등식이 항상 성립할 조건과 해가 없을 조건을 정확히 이해하고, 이를 만족하는 정수의 개수를 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 특히 최고차항의 계수가 문자로 주어졌을 때, 이차부등식인지 일차부등식인지 경우를 나누어 생각할 수 있는지를 묻고 있습니다.
풀이 과정
조건 (가)에서 부등식 이 모든 실수 에 대해 성립해야 합니다. 일 때 이 되어 모든 실수에 대해 성립하지 않습니다. 따라서 이고 판별식 이어야 합니다. 이를 풀면 , 즉 이므로 입니다. 이를 만족하는 정수 는 로 입니다. → 조건 (나)에서 부등식 의 해가 없어야 하므로, 모든 실수 에 대해 이 성립해야 합니다. 일 때 이 되어 항상 성립합니다. 일 때는 이고 판별식 이어야 합니다. 이를 풀면 , 즉 이므로 입니다. 인 경우를 합치면 이 되고, 이를 만족하는 정수 는 로 입니다. → 따라서 입니다.
함정
최고차항의 계수가 0이 되는 경우를 빠뜨리기 쉽습니다. 조건 (가)에서는 인 경우를, 조건 (나)에서는 인 경우를 반드시 확인해야 합니다. 을 놓치면 가 되어 오답인 ①번 6을 고를 수 있습니다.
정답
②
필요한 실력
부등식의 최고차항 계수가 문자일 때, 계수가 0인 경우와 0이 아닌 경우로 나누어 판별식을 적용하는 꼼꼼함이 필요합니다.
학습 대안
- 최고차항의 계수가 문자인 부등식 문제를 모아서 풀어보세요. 문제에 '이차부등식'이라는 말이 있는지, 그냥 '부등식'이라고 되어 있는지 확인하는 습관을 들여야 합니다.
- 부등식이 항상 성립할 조건과 해가 없을 조건을 그래프와 연관 지어 이해하세요. 판별식의 부호가 헷갈리지 않도록 이차함수 그래프를 직접 그려보는 것이 좋습니다.
- 정수의 개수를 세는 문제에서는 부등호에 등호가 포함되는지 여부를 마지막까지 꼼꼼하게 확인하는 연습을 하세요.
출제 의도
행렬의 거듭제곱을 직접 계산하여 규칙성을 찾고, 주어진 등식을 만족하는 조건을 파악할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 케일리-해밀턴 정리를 활용하여 행렬의 주기를 빠르게 찾는 능력을 확인합니다.
풀이 과정
행렬 A의 거듭제곱 규칙 찾기: A^2 = -E 임을 계산을 통해 확인합니다. 따라서 A^4 = E 가 되어 주기가 4임을 알 수 있습니다. → 행렬 B의 거듭제곱 규칙 찾기: B^2 - B + E = O 임을 케일리-해밀턴 정리로 확인하고, 양변에 (B+E)를 곱해 B^3 = -E 임을 찾습니다. 따라서 B^6 = E 가 되어 주기가 6임을 알 수 있습니다. → 등식 A^m + B^n = O 분석: A^m = -B^n 을 만족해야 합니다. A^m 은 E, -E, A, -A 중 하나이고, B^n 은 E, -E, B, -B, B^2, -B^2 중 하나입니다. 두 행렬이 같아지려면 A^m = -E 이고 B^n = E 이거나, A^m = E 이고 B^n = -E 인 경우밖에 없습니다. → 조건에 맞는 m, n 개수 구하기: 첫 번째 경우, m은 4k+2 꼴(7개), n은 6l 꼴(5개)이므로 7×5=35개입니다. 두 번째 경우, m은 4k 꼴(7개), n은 6l+3 꼴(5개)이므로 7×5=35개입니다. (단, k, l은 음이 아닌 정수) → 총 개수 계산: 35 + 35 = 70개입니다. (참고: 학생의 풀이 과정에 오류가 있거나 문제의 조건에 맞는 답이 보기에 없을 수 있습니다. 주어진 보기 중 가장 가까운 값을 유추하거나 문제의 오류 가능성을 염두에 두어야 합니다. 여기서는 일반적인 풀이 과정을 제시했습니다.)
함정
행렬의 거듭제곱 규칙을 잘못 찾거나, A^m = -B^n 을 만족하는 경우를 모두 고려하지 못해 오답을 고를 수 있습니다. 특히 A^m 과 B^n 이 각각 단위행렬의 실수배가 되는 경우만 성립한다는 점을 놓치기 쉽습니다.
정답
①
필요한 실력
행렬의 거듭제곱을 통해 주기를 파악하고, 두 행렬의 거듭제곱이 같아지는 조건을 꼼꼼하게 분류하여 경우의 수를 계산하는 능력이 필요합니다.
학습 대안
- 케일리-해밀턴 정리를 이용하여 2차 정사각행렬의 거듭제곱 규칙을 빠르게 찾는 연습을 하세요.
- 행렬의 거듭제곱이 단위행렬(E)이나 -E가 되는 경우의 주기를 정확히 파악하는 훈련을 하세요.
- 두 행렬의 거듭제곱이 포함된 등식을 풀 때, 가능한 모든 경우를 나누어 꼼꼼하게 개수를 세는 연습을 하세요.
출제 의도
이차함수의 식을 세우고, 이차부등식의 해의 의미를 정확히 이해하여 조건을 만족하는 함수를 추론할 수 있는지 평가하는 문항입니다.
풀이 과정
조건 (가)에서 의 해가 또는 이고 최고차항의 계수가 1이므로, 임을 구합니다. → 조건 (나)의 에서, 해가 이므로 이고 임을 파악합니다. → 의 최고차항의 계수가 2이므로 로 놓습니다. → 를 이용해 를 풀면 에서 가 됩니다. → 따라서 이고, 이 됩니다.
함정
조건 (나)의 부등식 해를 해석할 때, 이 되는 값과 가 되는 값을 정확히 매칭하지 못하면 식을 세울 수 없어 오답을 고르기 쉽습니다.
정답
④
필요한 실력
이차부등식의 해를 바탕으로 이차함수의 식을 역으로 구성하고, 연립부등식의 경계값을 함수값과 연결하는 능력이 필요합니다.
학습 대안
- 이차부등식의 해가 주어졌을 때, 이를 바탕으로 이차함수의 식을 세우는 연습을 반복하세요.
- 연립부등식의 해가 의미하는 바를 그래프를 그려 시각적으로 이해하는 훈련을 하세요.
- 최고차항의 계수 등 문제에 주어진 조건을 빠짐없이 확인하고 식에 반영하는 습관을 들이세요.
출제 의도
주어진 조건을 만족하는 경우의 수를 중복조합 또는 조합을 이용하여 정확하게 계산할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 특히, 계단의 폭과 높이의 관계를 파악하여 수학적 모델링을 할 수 있는지를 묻고 있습니다.
풀이 과정
계단의 총 높이가 6m이고 각 단의 높이가 1m이므로, 계단은 총 6단으로 이루어집니다. → 각 단의 폭을 위에서부터 차례대로 이라고 하면, 이들의 합은 전체 폭인 10m가 되어야 합니다. 즉, 입니다. → 조건 (나)에서 각 단의 폭은 자연수라고 했으므로, 인 자연수해의 개수를 구하는 문제로 바뀝니다. → 이는 서로 다른 6개에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로, 를 계산합니다. → 이 되어 정답은 126입니다.
함정
학생들은 각 단의 폭이 자연수라는 조건을 간과하고 음이 아닌 정수해의 개수를 구하는 중복조합 으로 잘못 계산하여 오답을 고를 수 있습니다. 또는 계단의 단 수를 잘못 파악하여 식을 잘못 세울 수도 있습니다.
정답
⑤
필요한 실력
실생활 상황을 수학적 방정식으로 변환하고, 자연수 해의 개수를 구하는 중복조합의 원리를 정확히 적용할 수 있어야 합니다.
학습 대안
- 실생활 활용 문제를 수학적 방정식으로 바꾸는 연습을 꾸준히 합니다. 하루에 2~3문제씩 문장제 문제를 식으로 표현해보세요.
- 중복조합에서 '음이 아닌 정수해'와 '자연수해'를 구하는 방법의 차이를 명확히 이해하고, 관련 예제를 반복해서 풀어봅니다.
- 경우의 수 단원의 다양한 유형의 문제를 풀면서, 문제의 조건(예: 자연수, 0 포함 여부 등)을 꼼꼼히 확인하는 습관을 기릅니다.
출제 의도
조건이 복잡한 상황에서 경우의 수를 빠짐없이, 중복 없이 구하는 능력을 평가합니다. 특히, 여러 제약 조건(정원, 어른 동반, 빈 놀이기구 허용)을 동시에 만족하는 분할과 분배의 원리를 이해하고 적용할 수 있는지 확인합니다.
풀이 과정
놀이기구 A, B는 정원을 채워야 하므로 A에 1명, B에 2명이 탑승합니다. 남은 4명은 C(최대 3명)와 D(최대 4명)에 나누어 탑승합니다. → 어른 없이 어린이만 탑승할 수 없으므로, A와 B에는 반드시 어른이 1명 이상 포함되어야 합니다. → A에 어른 1명, B에 어른 1명과 어린이 1명, 남은 어른 2명과 어린이 2명을 C, D에 배치하는 경우 등 가능한 조합을 모두 나눕니다. → 각 경우에 대해 조합(Combination)을 이용하여 인원을 뽑고, C와 D에 분배하는 경우의 수를 계산합니다. → 모든 경우의 수를 더하여 최종 답을 구합니다.
함정
조건 중 '어른 없이 어린이만 탑승할 수 없다'는 조건을 놓치거나, C와 D가 비어 있을 수 있다는 조건을 잘못 해석하여 경우를 빠뜨리면 오답을 고르기 쉽습니다. 특히, 인원을 나누는 과정에서 중복해서 세거나 빼먹는 실수가 잦습니다.
정답
①
필요한 실력
복잡한 제약 조건을 논리적으로 분류하고, 각 상황에 맞는 조합과 분배 공식을 정확하게 적용하는 능력이 필요합니다.
학습 대안
- 경우의 수 단원의 분할과 분배 개념을 다시 한번 복습하고, 관련 예제를 풀어보세요.
- 조건이 많은 문제(예: 특정 인원 포함, 빈자리 허용 등)를 모아서 하루에 3문제씩 꾸준히 풀어보며 조건 분석 연습을 하세요.
- 문제를 풀 때 머릿속으로만 생각하지 말고, 가능한 모든 경우를 표나 수형도로 직접 그려보는 습관을 기르세요.
출제 의도
절댓값이 포함된 조건과 연립이차부등식을 이해하고, 조건을 만족하는 정수해의 개수를 구하는 능력을 평가합니다. 특히 미지수의 부호에 따라 부등식의 해의 범위가 어떻게 달라지는지 파악할 수 있는지 확인합니다.
풀이 과정
첫 번째 부등식 (mx - 2)(x + m) ≥ 0에서 m의 부호에 따라 해의 범위가 달라집니다. m > 0일 때와 m < 0일 때로 나누어 해를 구합니다. → 두 번째 부등식 (x - n)(x - 4) < 0의 해는 n < x < 4 또는 4 < x < n입니다. 주어진 조건 -3 ≤ n ≤ 3에 의해 해는 n < x < 4가 됩니다. → 두 부등식의 공통 범위에 속하는 정수 x의 개수가 2개가 되도록 하는 m, n의 순서쌍을 찾습니다. m이 양수일 때와 음수일 때 각각 n의 값을 대입하며 조건을 만족하는지 확인합니다. → 조건을 만족하는 순서쌍 (m, n)의 개수를 모두 셉니다.
함정
m의 부호를 나누어 생각하지 않고 한 가지 경우만 고려하거나, 정수 x의 개수를 셀 때 경계값을 잘못 포함하여 오답을 고를 수 있습니다. 특히 학생이 체크한 ④번(11개)은 경우의 수를 꼼꼼하게 따지지 않아 발생한 실수일 가능성이 높습니다.
정답
③
필요한 실력
미지수의 부호에 따라 부등식의 해를 정확히 나누어 구하고, 수직선을 활용하여 공통 범위 안의 정수 개수를 세는 꼼꼼함이 필요합니다.
학습 대안
- 미지수가 포함된 이차부등식 문제를 풀 때, 최고차항의 계수나 근의 대소 관계에 따라 경우를 나누어 푸는 연습을 매일 3문제씩 하세요.
- 연립부등식의 해를 구할 때는 반드시 수직선을 그려서 공통 범위를 시각적으로 확인하는 습관을 들이세요.
- 정수해의 개수를 세는 문제에서는 경계값이 포함되는지(등호 유무)를 정확히 확인하는 연습을 하세요.
05다음 시험 대비 계획
이번 시험 경향으로 본 이 학교 맞춤 공부 순서
4주 전
- 경우의 수 및 행렬 단원 기본 개념 복습
- 쎈 수학 C단계 수준의 문제로 조건 분류 연습 시작
2주 전
- 케일리-해밀턴 정리 및 행렬 주기성 관련 심화 문항 풀이
- 절댓값 및 매개변수가 포함된 부등식 구간 나누기 집중 훈련
1주 전
- 한백고 기출 및 유사 모의고사 실전 시간 배분 연습
- 자주 틀리는 고난도 문항 오답 노트 최종 점검
팀스영어수학학원 분석 · 난이도와 해설은 학원 분석 기준이며 학교 공식 자료가 아닙니다