청계중 2학년 수학 2026 1학기 중간고사 분석
수학팀스영어수학학원 · 2026.10.02 4
총점
문항 수
난이도 지수5.0/ 10
▼
쉬움보통어려움
01출제 범위
단원별 배점
유리수와 순환소수부터 일차부등식의 활용까지 1학기 절반에 해당하는 범위가 고르게 출제되었습니다.
총평
복잡한 심화 문항 없이 연산의 정확도와 기본기 적용을 묻는 평이한 시험이었습니다.
이번 청계중 2학년 1학기 중간고사는 최고난도 문항 없이 기본 개념과 연산 능력을 점검하는 데 집중했습니다. 유리수와 순환소수부터 일차부등식의 활용까지 고른 비중으로 출제된 것이 특징입니다. 까다로운 킬러 문항보다는 교과서 수준의 유형이 주를 이루어 시간 부족 없이 무난하게 풀 수 있는 수준이었습니다.
점수를 가른 곳은 복잡한 계산 과정에서의 부호 처리와 규칙성 파악 문항이었습니다. 4번 문항은 순환마디의 규칙을 찾아 427번째 자리까지의 합을 구해야 하므로 덧셈 실수가 나오기 쉬웠습니다. 11번은 다항식의 나눗셈에서 분모의 음수 부호를 분자와 정확히 상쇄하여 계산하지 않으면 오답 선지를 고르도록 유도했습니다. 14번 역시 문자의 부호를 추론하여 부등식의 참거짓을 판별하는 과정에서 헷갈린 학생들이 많았을 것입니다.
기말고사를 대비하기 위해서는 무엇보다 연산의 정확도를 높이는 훈련을 해야 합니다. 이번 시험처럼 평이한 난이도에서는 단 한 번의 부호 실수나 덧셈 오류가 등급 하락으로 직결되기 때문입니다. 일차함수 등 다음 단원에서도 복잡한 식의 계산이 이어지므로 평소 풀이 과정을 가지런히 적는 습관을 길러야 합니다. 시중 기본서의 대표 유형을 반복해서 풀며 오답을 스스로 교정하는 연습을 권장합니다.
02문항 지도
시험 문제 전체를 한눈에 보는 그림입니다.
- •네모 칸 하나가 문제 하나입니다.
- •라벤더색 칸은 객관식, 주황색 칸(점선 테두리)은 서술형(논술형) 문제입니다.
- •색이 진할수록 어려운 문제입니다.
- •칸을 누르면 그 문제의 해설로 이동합니다.
객관식상 0문항중 13문항하 5문항
서술형상 0문항중 2문항하 0문항
03문항별 해설
1번부터 끝까지 20문항을 순서대로 실었습니다.
- •점수를 가른 어려운 문제와 서술형 8문항(04·05·08·14·15·18번, 논술형 19·20번)은 심층 분석으로 펼쳐 두었습니다.
- •심층 분석에는 출제 의도, 풀이 과정, 틀리기 쉬운 곳, 공부 방법까지 담았습니다.
- •나머지 문항은 누르면 문항 그림과 해설이 펼쳐집니다.
- •오타 등으로 정답이 틀릴 수 있습니다. 오류가 있을 경우 학원에 알려 주세요.
출제 의도
순환소수의 표현 방식을 이해하고, 순환마디의 규칙성을 이용하여 특정 자리의 숫자를 구하거나 그 합을 계산할 수 있는지 평가하는 문항입니다.
풀이 과정
순환소수 의 순환마디는 로, 길이는 4입니다. → 소수점 아래 첫째 자리와 둘째 자리는 순환하지 않는 숫자 와 입니다. → 소수점 아래 427번째 자리까지의 숫자 중 순환하지 않는 숫자는 2개이므로, 순환마디는 번 반복되고 나머지가 입니다. → 따라서 순환마디 가 106번 반복되고, 그 다음 숫자인 이 한 번 더 나옵니다. → 모든 숫자의 합은 입니다.
함정
순환하지 않는 앞의 두 자리 숫자(2, 8)를 고려하지 않고 전체 427자리를 모두 순환마디로 나누어 계산하면 오답을 고를 수 있습니다.
정답
③
필요한 실력
순환소수의 순환마디를 파악하고, 나눗셈을 통해 규칙성을 찾아 합을 계산하는 능력이 필요합니다.
학습 대안
- 순환소수의 표현 방법을 정확히 익히고, 순환마디의 길이를 파악하는 연습을 합니다.
- 소수점 아래 특정 번째 자리의 숫자를 구하는 문제를 반복해서 풀어보며 규칙성을 찾는 훈련을 합니다.
- 순환하지 않는 부분이 포함된 순환소수 문제에서 실수를 줄이기 위해, 순환하지 않는 부분과 순환하는 부분을 분리하여 생각하는 습관을 기릅니다.
출제 의도
분수를 소수로 나타낼 때 유한소수가 되는 조건을 이해하고, 주어진 범위 내에서 조건을 만족하는 분수의 개수를 정확히 셀 수 있는지 평가하는 문항입니다.
풀이 과정
유한소수가 되려면 기약분수로 나타냈을 때 분모의 소인수가 2나 5뿐이어야 합니다. → 주어진 분수들은 모두 분자가 1이므로 기약분수입니다. → 분모가 10부터 150까지의 자연수 중 소인수가 2나 5뿐인 수를 찾습니다. → 2의 거듭제곱: 16, 32, 64, 128 (4개) / 5의 거듭제곱: 25, 125 (2개) / 2와 5의 곱: 10, 20, 40, 50, 80, 100 (6개) → 총 4 + 2 + 6 = 12개입니다.
함정
분모의 소인수가 2나 5뿐인 수를 찾을 때, 2의 거듭제곱이나 5의 거듭제곱만 세고 2와 5가 섞인 경우를 빠뜨려 오답을 고를 수 있습니다. 또는 범위를 1부터 150까지로 착각하여 2, 4, 5, 8을 포함해 개수를 잘못 셀 수도 있습니다.
정답
⑤
필요한 실력
유한소수의 조건을 정확히 알고, 주어진 범위 내에서 조건에 맞는 수를 빠짐없이 체계적으로 세는 능력이 필요합니다.
학습 대안
- 유한소수와 순환소수를 판별하는 조건(분모의 소인수가 2 또는 5뿐인지 확인)을 다시 한번 복습합니다.
- 특정 범위 내에서 조건에 맞는 수를 찾을 때, 기준을 세워(예: 2의 거듭제곱, 5의 거듭제곱, 2와 5의 곱) 빠짐없이 세는 연습을 합니다.
- 비슷한 유형의 문제를 풀면서 자신이 자주 놓치는 부분이 어디인지 파악하고 보완합니다.
출제 의도
지수법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 하고, 밑을 같게 만들어 지수 방정식을 풀 수 있는지 평가하는 문항입니다.
풀이 과정
첫 번째 식에서 밑을 3으로 통일합니다: 9^(2a-1) / 3^a = (3^2)^(2a-1) / 3^a = 3^(4a-2) / 3^a = 3^(3a-2) → 81은 3^4이므로 3^(3a-2) = 3^4에서 3a-2 = 4, 즉 a = 2입니다. → 두 번째 식에서 밑이 2로 같으므로 지수법칙을 적용합니다: 2^(2b) / 2^(b+2) = 2^(2b - (b+2)) = 2^(b-2) → 128은 2^7이므로 2^(b-2) = 2^7에서 b-2 = 7, 즉 b = 9입니다. → 따라서 a + b = 2 + 9 = 11입니다.
함정
지수법칙을 적용할 때 괄호를 풀면서 부호를 잘못 계산하거나, 81과 128을 각각 3과 2의 거듭제곱으로 잘못 변환하여 오답을 고를 수 있습니다.
정답
④
필요한 실력
밑이 다른 거듭제곱의 나눗셈을 밑을 통일하여 지수법칙으로 계산할 수 있어야 합니다.
학습 대안
- 지수법칙의 기본 공식(곱셈, 나눗셈, 거듭제곱의 거듭제곱)을 완벽하게 암기하고, 다양한 문제에 적용하는 연습을 합니다.
- 2, 3, 5 등 자주 나오는 수의 거듭제곱(예: 2^10까지, 3^5까지)을 외워두면 계산 속도와 정확도를 높일 수 있습니다.
- 방정식을 풀 때 이항 과정에서 부호 실수가 없도록 꼼꼼하게 식을 전개하는 습관을 기릅니다.
출제 의도
주어진 조건들을 이용하여 각 문자의 부호를 판별하고, 부등식의 기본 성질을 적용하여 참, 거짓을 구별할 수 있는지 평가하는 문항입니다.
풀이 과정
에서 이고, 이므로 와 의 부호는 다릅니다. 따라서 , 입니다. → 이고 이므로 입니다. → ㄱ. , 이므로 (참) → ㄴ. , 이므로 (거짓) → ㄷ. 의 양변에 을 곱하면 , 양변에 을 더하면 , 양변을 로 나누면 (참) → ㄹ. , 이므로 (거짓) → ㅁ. , 이므로 (거짓) → 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ입니다.
함정
부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호의 방향이 바뀐다는 성질을 깜빡하거나, 문자의 부호를 잘못 판별하여 ㄴ, ㄹ, ㅁ을 참으로 착각할 수 있습니다. 특히 ㅁ에서 가 음수이고 가 음수이므로 곱하면 양수가 되는데, 이를 음수로 잘못 판단하기 쉽습니다.
정답
①
필요한 실력
여러 개의 부등식 조건을 종합하여 각 문자의 부호를 정확히 알아내고, 부등식의 성질을 실수 없이 적용하는 능력이 필요합니다.
학습 대안
- 부등식의 기본 성질(양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 그대로, 양수를 곱하거나 나누면 그대로, 음수를 곱하거나 나누면 반대로 바뀜)을 완벽하게 암기하고 이해하세요.
- 두 수의 곱이나 몫의 부호 조건(, 등)이 주어졌을 때, 각 수의 부호가 어떻게 되는지 경우를 나누어 생각하는 연습을 하세요.
- 보기의 각 식을 변형할 때, 어떤 부등식의 성질이 쓰였는지 옆에 적어보는 연습을 하면 실수를 줄일 수 있습니다.
출제 의도
일차부등식을 풀고, 그 해의 조건(자연수 개수)을 만족하는 미지수의 범위를 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다.
풀이 과정
부등식 를 정리합니다. → → → 이 부등식을 만족하는 자연수 가 3개(1, 2, 3)이려면, 의 값이 3보다 크고 4보다 작거나 같아야 합니다. → → → → 가 됩니다.
함정
부등호의 등호 포함 여부를 헷갈려 ③번을 고르기 쉽습니다. 가 3이 되면 자연수 해가 1, 2 두 개뿐이므로 3보다 커야 하고, 4가 되어도 이므로 자연수 해는 1, 2, 3 세 개가 되어 4와 같아도 됨을 정확히 이해해야 합니다.
정답
①
필요한 실력
부등식의 해를 수직선 위에 나타내어 조건에 맞는 미지수의 범위를 정확하게 설정하는 능력이 필요합니다.
학습 대안
- 일차부등식을 풀고 해를 수직선 위에 나타내는 연습을 반복합니다.
- 해의 조건(자연수, 정수의 개수 등)이 주어졌을 때, 경계값에서 등호가 포함되는지 여부를 꼼꼼히 따지는 훈련을 합니다.
- 비슷한 유형의 문제를 하루 3~5문제씩 꾸준히 풀며 감각을 익힙니다.
출제 의도
일차부등식을 활용하여 실생활의 거리, 속력, 시간 문제를 해결할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 특히 단위를 통일하고 부등식을 바르게 세우는 능력을 확인합니다.
풀이 과정
역에서 상점까지의 거리를 x km라고 합니다. → 갈 때 걸리는 시간은 x/3 시간, 올 때 걸리는 시간은 x/4 시간입니다. → 물건을 사는 데 걸리는 시간 10분은 10/60 = 1/6 시간입니다. → 전체 여유 시간 1시간 20분은 1과 20/60 = 4/3 시간입니다. → 따라서 부등식 x/3 + 1/6 + x/4 ≤ 4/3 를 세울 수 있습니다. → 양변에 12를 곱하여 풀면 4x + 2 + 3x ≤ 16, 7x ≤ 14, x ≤ 2 가 됩니다. 최대 2km까지 다녀올 수 있습니다.
함정
시간 단위를 통일하지 않고 분 단위 그대로 식을 세우거나, 물건을 사는 시간을 식에 포함하지 않으면 잘못된 답을 고를 수 있습니다.
정답
④
필요한 실력
거리, 속력, 시간의 관계를 이해하고, 문제에 주어진 조건에 맞게 단위를 통일하여 일차부등식을 세우고 풀 수 있어야 합니다.
학습 대안
- 거리, 속력, 시간 공식을 완벽하게 암기하고, 세 가지 중 두 가지가 주어졌을 때 나머지 하나를 구하는 연습을 합니다.
- 시간 단위(시간, 분)와 거리 단위(km, m)를 문제의 조건에 맞게 통일하는 연습을 꾸준히 합니다.
- 다양한 상황(왕복, 추격 등)의 일차부등식 활용 문제를 하루에 3~5문제씩 풀며 식 세우는 감각을 익힙니다.
출제 의도
소인수분해된 수의 자릿수와 가장 높은 자리의 숫자를 구하는 방법을 이해하고 있는지 평가하는 문항입니다. 지수법칙을 활용하여 10의 거듭제곱 꼴로 변형할 수 있는지를 확인합니다.
풀이 과정
주어진 식을 10의 거듭제곱 꼴로 변형하기 위해 2와 5의 지수를 맞춥니다. → → → 은 45 뒤에 0이 7개 붙은 수이므로 9자리 자연수입니다. 따라서 입니다. → 가장 높은 자리의 숫자는 45의 십의 자리 숫자인 4이므로 입니다. → 입니다.
채점 포인트
주어진 식을 꼴로 바르게 변형했는가 (3점) / 의 값을 정확히 구했는가 (2점) / 의 값을 정확히 구하고 를 계산했는가 (2점)
감점 요인
2와 5의 지수를 맞출 때, 작은 지수에 맞춰야 하는데 큰 지수에 맞추거나 잘못 묶어 계산 실수를 하는 경우가 많습니다. 또한, 자릿수 을 구할 때 10의 지수만 보고 7자리라고 착각하거나, 앞에 곱해진 수의 자릿수를 더하지 않아 틀릴 수 있습니다.
모범 답안
은 45 뒤에 0이 7개 있는 수이므로 9자리 자연수이다. 따라서 이다.
가장 높은 자리의 숫자는 4이므로 이다.
따라서 이다.
필요한 실력
지수법칙을 이용하여 식을 꼴로 변형하고, 이를 통해 자릿수와 최고 자리 숫자를 파악할 수 있어야 합니다.
학습 대안
- 지수법칙을 복습하고, 특히 공식을 능숙하게 사용할 수 있도록 연습합니다.
- 소인수분해된 수의 자릿수를 구하는 다양한 유형의 문제를 풀어보며, 2와 5의 짝을 맞추어 10의 거듭제곱을 만드는 과정을 체화합니다.
- 자릿수를 구할 때 앞에 곱해진 수의 자릿수를 더하는 것을 잊지 않도록 주의하며 문제를 푸는 습관을 기릅니다.
출제 의도
두 개의 일차부등식을 각각 풀고, 그 해가 같다는 조건을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 소수와 분수가 포함된 복잡한 일차부등식의 풀이 능력을 확인합니다.
풀이 과정
첫 번째 부등식의 양변에 10을 곱하여 소수를 정수로 바꿉니다. → 을 풀어 를 구합니다. → 두 번째 부등식의 양변에 분모의 최소공배수인 6을 곱하여 분수를 정수로 바꿉니다. → 를 정리하여 를 구합니다. → 두 부등식의 해가 같으므로 방정식을 세워 를 구합니다.
채점 포인트
(1) 첫 번째 부등식의 해를 정확히 구하고 풀이 과정을 서술했는가 (3점)
(2) 두 번째 부등식을 에 대해 바르게 정리했는가 (2점)
(2) 두 부등식의 해가 같음을 이용하여 에 대한 방정식을 세웠는가 (1점)
(2) 의 값을 정확히 구하고 풀이 과정을 서술했는가 (2점)
감점 요인
첫 번째 부등식에서 양변에 10을 곱할 때, 상수항 1에 10을 곱하지 않아 로 잘못 계산하는 실수가 잦습니다. 두 번째 부등식에서 양변에 6을 곱할 때, 괄호 앞의 마이너스 부호를 분배하는 과정에서 부호 실수를 하기 쉽습니다. 부등식의 양변을 음수로 나눌 때 부등호의 방향을 바꾸지 않아 감점될 수 있습니다.
모범 답안
(1) 의 양변에 10을 곱하면 입니다. 이항하여 정리하면 이므로 입니다.
(2) 의 양변에 6을 곱하면 입니다. 괄호를 풀면 이고, 이항하여 정리하면 입니다. 양변을 -1로 나누면 입니다. 두 부등식의 해가 같으므로 입니다. 따라서 입니다.
필요한 실력
소수와 분수가 포함된 일차부등식을 정확하게 풀고, 해가 같다는 조건을 이용하여 미지수에 대한 일차방정식을 세우고 풀 수 있어야 합니다.
학습 대안
- 소수나 분수가 포함된 일차부등식을 정수 계수로 바꾸어 푸는 연습을 매일 5문제씩 꾸준히 하세요.
- 괄호가 있는 식을 전개할 때 부호가 틀리지 않도록 주의하며 식을 꼼꼼하게 적는 습관을 들이세요.
- 부등식의 양변을 음수로 나눌 때 부등호의 방향이 바뀌는 것을 잊지 않도록 형광펜으로 표시하며 푸는 연습을 해보세요.
04다음 시험 대비 계획
이번 시험 경향으로 본 이 학교 맞춤 공부 순서
4주 전
- 교과서와 기본서를 활용해 일차함수 단원의 핵심 개념 정리하기
- 이전 단원과 연계된 복잡한 식의 계산 문제 하루 10문제씩 풀기
2주 전
- 학교 프린트와 교과서 중단원, 대단원 마무리 문제 반복해서 풀기
- 부호 실수가 잦은 연산 문제를 모아 오답 노트 작성하기
1주 전
- 실제 시험과 동일하게 45분 시간을 재고 기출 모의고사 풀기
- 서술형 감점을 막기 위해 풀이 과정을 생략 없이 적는 연습하기
팀스영어수학학원 분석 · 난이도와 해설은 학원 분석 기준이며 학교 공식 자료가 아닙니다