동탄중 2학년 수학 2026 1학기 중간고사 분석

수학팀스영어수학학원 · 2026.10.02 1

총점

문항 수

난이도 지수4.6/ 10

▼

쉬움보통어려움

01출제 범위

단원별 배점

유리수와 순환소수부터 일차부등식의 활용까지 출제되었으며, 입체도형의 겉넓이와 부피 등 이전 학년 개념이 일부 혼합되었습니다.

총평

고난도 문항은 없었으나, 순환소수와 식의 계산에서 정확한 연산 능력이 점수를 갈랐습니다.

이번 동탄중학교 2학년 1학기 중간고사는 까다로운 최상위권 변별용 문항 없이 평이한 수준으로 출제되었습니다. 유리수와 순환소수, 식의 계산 단원의 비중이 높았고 개념을 묻는 문항이 다수 배치되었습니다. 복잡한 응용보다는 교과서 수준의 기본기를 얼마나 탄탄하게 다졌는지가 성적을 좌우했습니다. 시간 부족을 겪은 학생은 많지 않았을 테지만, 작은 연산 실수가 등급을 가르는 요인이 되었습니다.

11번 문항은 순환소수를 분수로 고쳐 일차방정식을 푸는 과정에서 순환마디의 위치를 정확히 파악하지 못하면 오답을 고르기 쉬웠습니다. 15번은 지수법칙을 활용해 복잡한 분수식을 계산해야 하므로 밑을 소수로 통일하는 과정에서 부호나 지수 실수가 잦았을 문항입니다. 19번은 거듭제곱의 일의 자리 숫자가 4개씩 반복된다는 규칙을 추론해야 해서 당황한 학생이 있었을 것입니다. 논술형 1번은 시간을 분에서 시간 단위로 통일하여 부등식을 세우는 과정이 감점의 주요 원인이 되었습니다.

기말고사에는 연립방정식과 일차함수 단원이 포함되어 이번보다 수식 계산이 길어지고 그래프 해석 능력을 요구하는 문제가 출제될 예정입니다. 평소 문제를 풀 때 눈으로만 보지 말고 풀이 과정을 처음부터 끝까지 노트에 정돈하여 적는 훈련을 해야 합니다. 활용 단원에서는 문제 상황을 식으로 바꾸는 연습을 반복하여 낯선 문장제 문제에 대한 두려움을 없애는 과정이 필수적입니다. 오답 노트를 작성할 때는 단순히 답만 고치지 말고 자신이 어느 연산 단계에서 실수했는지 정확히 짚고 넘어가야 합니다.

02문항 지도

시험 문제 전체를 한눈에 보는 그림입니다.

•네모 칸 하나가 문제 하나입니다.
•라벤더색 칸은 객관식, 주황색 칸(점선 테두리)은 서술형(논술형) 문제입니다.
•색이 진할수록 어려운 문제입니다.
•칸을 누르면 그 문제의 해설로 이동합니다.

객관식상 0문항중 12문항하 8문항

서술형상 0문항중 2문항하 0문항

03문항별 해설

1번부터 끝까지 22문항을 순서대로 실었습니다.

•점수를 가른 어려운 문제와 서술형 8문항(12·15·16·18·19·20번, 논술형 1·2번)은 심층 분석으로 펼쳐 두었습니다.
•심층 분석에는 출제 의도, 풀이 과정, 틀리기 쉬운 곳, 공부 방법까지 담았습니다.
•나머지 문항은 누르면 문항 그림과 해설이 펼쳐집니다.
•오타 등으로 정답이 틀릴 수 있습니다. 오류가 있을 경우 학원에 알려 주세요.

출제 의도

이 문항은 지수법칙을 이해하고, 주어진 식을 변형하여 다른 식에 대입할 수 있는지를 평가합니다. 밑을 같게 만들어 지수를 비교하고 계산하는 능력을 봅니다.

풀이 과정

주어진 식

A^{2} = 8

에서

8

을

2^{3}

으로 바꿉니다. 즉,

A^{2} = 2^{3}

입니다. → 구하려는 식

1 6^{7}

에서

16

을

2^{4}

으로 바꿉니다. 즉,

(2^{4})^{7} = 2^{28}

입니다. →

2^{28}

을

2^{3}

의 거듭제곱 형태로 변형합니다.

2^{28} = 2^{27} \times 2^{1} = (2^{3})^{9} \times 2

입니다. →

2^{3}

대신

A^{2}

을 대입합니다.

2 \times (A^{2})^{9} = 2 A^{18}

이 됩니다.

함정

학생들은

1 6^{7}

을

2^{28}

로 바꾼 후,

A^{2} = 2^{3}

을 어떻게 적용할지 몰라 당황할 수 있습니다. 지수를 맞추는 과정에서 계산 실수를 하여 ①번

2 A^{9}

이나 ⑤번

4 A^{18}

을 고를 수 있습니다.

정답

③

필요한 실력

밑을 소인수분해하여 같게 만들고, 지수법칙을 활용해 식을 자유롭게 변형하는 실력이 필요합니다.

학습 대안

지수법칙의 기본 공식(곱셈, 나눗셈, 거듭제곱)을 백지에 적어보고 완벽히 암기합니다.
밑이 다른 거듭제곱 문제들을 모아 밑을 소수로 통일하는 연습을 하루 10문제씩 꾸준히 합니다.
주어진 조건을 변형하여 목표하는 식에 대입하는 유형의 문제를 반복해서 풀어봅니다.

출제 의도

거듭제곱의 합을 곱셈으로 바꾸고, 밑을 소인수분해하여 지수법칙을 올바르게 적용할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

분자와 분모의 거듭제곱 덧셈을 곱셈으로 바꿉니다. (9^4 × 4) / (2^3 × 3) × (4^3 × 3) / (3^6 × 2) → 밑을 소수로 통일합니다. 9=3^2, 4=2^2 이므로 ((3^2)^4 × 2^2) / (2^3 × 3) × ((2^2)^3 × 3) / (3^6 × 2) → 지수법칙을 적용하여 식을 정리합니다. (3^8 × 2^2) / (2^3 × 3) × (2^6 × 3) / (3^6 × 2) → 분자와 분모를 각각 곱하여 정리합니다. (3^9 × 2^8) / (3^7 × 2^4) → 약분하여 최종 값을 구합니다. 3^2 × 2^4 = 9 × 16 = 144

함정

거듭제곱의 덧셈을 지수의 덧셈으로 착각하여 9^4 + 9^4 + 9^4 + 9^4를 9^16으로 잘못 계산하면 오답을 고를 수 있습니다. 또한, 밑을 소인수분해하는 과정에서 실수가 발생하기 쉽습니다.

정답

③

필요한 실력

같은 수의 거듭제곱 덧셈을 곱셈으로 변환하고, 밑을 소인수분해하여 지수법칙을 정확하게 적용하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

거듭제곱의 덧셈과 곱셈의 차이를 명확히 이해하고, 덧셈을 곱셈으로 바꾸는 연습을 반복합니다.
합성수를 밑으로 하는 거듭제곱을 소인수분해하여 지수법칙을 적용하는 문제를 하루 10문제씩 풀어봅니다.
복잡한 분수 형태의 지수 계산 문제에서 분자와 분모를 꼼꼼하게 약분하는 연습을 통해 계산 실수를 줄입니다.

출제 의도

순환소수를 분수로 나타내는 방법을 이해하고, 주어진 부등식 조건을 만족하는 미지수의 값을 찾을 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

순환소수

0. a ˙ b ˙

를 분수로 나타내면

\frac{10 a + b}{99}

가 됩니다. → 이 분수가

\frac{k}{11}

와 같으므로,

\frac{10 a + b}{99} = \frac{9 k}{99}

가 되어

10 a + b = 9 k

라는 식을 얻습니다. → 주어진 조건

20 < 10 a + b < 40

에

10 a + b = 9 k

를 대입하면

20 < 9 k < 40

이 됩니다. → 이를 만족하는 자연수

k

는 3, 4입니다. → 따라서 모든

k

의 값의 합은

3 + 4 = 7

입니다.

함정

조건을 만족하는

k

의 값인 3이나 4를 각각 구하고, 그 합을 구하지 않은 채 보기 ①이나 ②를 선택하는 실수를 할 수 있습니다.

정답

④

필요한 실력

순환소수를 분수로 변환하는 공식을 정확히 알고, 부등식의 해를 구하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

순환소수를 분수로 바꾸는 원리와 공식을 다시 한번 복습하고, 다양한 형태의 순환소수를 분수로 고치는 연습을 합니다.
문제를 끝까지 읽고 구하고자 하는 것이 무엇인지(여기서는 '모든 k의 값의 합') 정확히 파악하는 습관을 기릅니다.
부등식에 문자를 대입하여 해를 구하는 유형의 문제를 하루 3~5문제씩 꾸준히 풀어봅니다.

출제 의도

유한소수와 순환소수의 조건을 이해하고, 이를 만족하는 미지수의 개수를 정확히 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 분모의 소인수분해를 통해 유한소수가 되기 위한 조건을 파악하고, 순환소수가 되기 위한 조건을 역으로 생각할 수 있는지 확인합니다.

풀이 과정

13/120 × A가 유한소수가 되려면 120 = 2³ × 3 × 5이므로 A는 3의 배수여야 합니다. → 6/55 × A가 유한소수가 되려면 55 = 5 × 11이므로 A는 11의 배수여야 합니다. → 따라서 A는 3과 11의 공배수인 33의 배수이고, 두 자리 자연수 A는 33, 66, 99로 x = 3입니다. → 3/20 × 1/B = 3 / (2² × 5 × B)가 순환소수가 되려면 분모에 2나 5 이외의 소인수가 남아야 합니다. 분자의 3과 약분되는 것을 고려하면 B는 7, 9가 가능하므로 y = 2입니다. → 최종적으로 x + y = 3 + 2 = 5입니다.

함정

B의 개수를 구할 때 분자의 3과 약분되는 경우를 놓치고 B=3, 6을 포함시켜 y값을 잘못 구하면 오답을 고를 수 있습니다. 또한 A의 개수를 구할 때 '두 자리 자연수'라는 조건을 놓치면 틀릴 수 있습니다.

정답

①

필요한 실력

분수를 기약분수로 나타낸 후 분모를 소인수분해하여 유한소수와 순환소수의 조건을 정확히 적용하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

유한소수와 순환소수의 판별 조건을 복습합니다. 분모의 소인수가 2나 5뿐이면 유한소수, 그 외의 소인수가 있으면 순환소수임을 확실히 암기하세요.
미지수가 포함된 분수가 유한소수나 순환소수가 되기 위한 조건을 찾는 문제를 하루 5문제씩 풀어보세요. 특히 분자와 약분되는 경우를 주의 깊게 살펴야 합니다.
조건을 만족하는 자연수의 개수를 구할 때, '두 자리 자연수', '한 자리 자연수'와 같은 제한 조건을 꼼꼼히 확인하는 습관을 기르세요.

출제 의도

거듭제곱의 합의 일의 자리 숫자가 일정한 규칙으로 반복됨을 파악하고, 이를 순환소수와 연결하여 특정 자리의 숫자를 구할 수 있는지 평가합니다.

풀이 과정

2의 거듭제곱의 일의 자리 숫자는 2, 4, 8, 6이 반복됩니다. → 따라서

2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n}

의 일의 자리 숫자

a_{n}

은

n = 1

일 때 2,

n = 2

일 때

2 + 4 = 6

n = 3

일 때

6 + 8 = 14

이므로 4,

n = 4

일 때

4 + 6 = 10

이므로 0이 됩니다. → 즉, 수열

a_{n}

은 2, 6, 4, 0이 반복됩니다. → 순환소수

0. a ˙_{1} a_{2} a_{3} a ˙_{4}

는

0. 2 ˙ 64 0 ˙

이 됩니다. → 소수점 아래 2026번째 자리 숫자를 구하기 위해 2026을 순환마디의 길이인 4로 나누면

2026 = 4 \times 506 + 2

이므로, 순환마디의 두 번째 숫자인 6이 됩니다.

함정

거듭제곱의 합의 일의 자리 숫자를 구하는 과정에서 계산 실수를 하거나, 순환마디의 길이를 잘못 파악하여 엉뚱한 숫자를 고를 수 있습니다. 특히 2의 거듭제곱의 일의 자리 숫자(2, 4, 8, 6)를 그대로 순환마디로 착각하여 ②번이나 ⑤번을 고를 위험이 있습니다.

정답

④

필요한 실력

거듭제곱의 일의 자리 숫자의 규칙성을 찾고, 이를 바탕으로 합의 일의 자리 숫자의 규칙성을 추론하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

거듭제곱의 일의 자리 숫자가 반복되는 규칙을 직접 나열하며 확인하는 연습을 합니다.
순환소수의 특정 자리 숫자를 구하는 문제를 풀 때, 나눗셈의 나머지를 활용하는 방법을 확실히 익힙니다.
규칙성 찾기 문제에서 계산 실수를 줄이기 위해 차분하게 단계를 밟아가는 훈련을 합니다.

출제 의도

일차부등식을 활용하여 실생활의 비용 비교 문제를 해결할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 특히, 인원수에 따른 할인 조건을 이해하고 유리한 선택을 위한 부등식을 세울 수 있는지를 묻고 있습니다.

풀이 과정

단체 입장권의 할인율을

x

%라고 가정합니다. → 21명 이상 25명 미만의 단체 중 가장 적은 인원인 21명이 입장할 때를 기준으로 식을 세웁니다. → 21명이 개별 입장권을 살 때의 비용은

4000 \times 21 = 84000

원입니다. → 25명 단체 입장권을 살 때의 비용은

4000 \times 25 \times (1 - \frac{x}{100}) = 100000 \times (1 - \frac{x}{100})

원입니다. → 25명 단체 입장권을 사는 것이 유리하려면

84000 > 100000 \times (1 - \frac{x}{100})

이어야 합니다. 이를 풀면

84 > 100 - x

, 즉

x > 16

이 되어 할인율은 최소 16%보다 커야 합니다.

함정

학생들은 21명 이상 25명 미만이라는 조건에서 어떤 인원수를 기준으로 식을 세워야 할지 헷갈려 오답을 고를 수 있습니다. 가장 불리한 조건인 21명을 기준으로 계산해야 함을 놓치기 쉽습니다.

정답

①

필요한 실력

주어진 상황에 맞게 미지수를 정하고, 조건에 맞는 일차부등식을 세워 해를 구할 수 있는 능력이 필요합니다.

학습 대안

교과서나 문제집에 있는 '유리한 방법 선택하기' 유형의 부등식 활용 문제를 하루에 3문제씩 꾸준히 풀어보세요.
문제를 풀 때 미지수를 무엇으로 둘지, 어떤 조건으로 부등식을 세울지 먼저 글로 적어보는 연습을 하세요.
계산 과정에서 실수가 없도록 식을 꼼꼼하게 정리하고, 구한 해가 문제의 조건에 맞는지 다시 한번 확인하는 습관을 기르세요.

출제 의도

일차부등식을 활용하여 실생활의 거리, 속력, 시간 문제를 해결할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 특히 단위를 통일하여 식을 세우고, 부등식을 정확하게 푸는 능력을 확인합니다.

풀이 과정

구하려는 거리를

x

km로 설정 → 가는 시간(

\frac{x}{2}

), 물건 사는 시간(

\frac{15}{60}

), 오는 시간(

\frac{x}{4}

)을 각각 구함 → 총 시간이 1시간 30분(

\frac{3}{2}

시간) 이하라는 부등식

\frac{x}{2} + \frac{15}{60} + \frac{x}{4} \leq \frac{3}{2}

작성 → 부등식을 풀어

x \leq \frac{5}{3}

도출 → 최대 거리를

\frac{5}{3}

km로 답함

채점 포인트

1. 미지수

x

설정 및 시간 단위 통일 (2점) 2. 조건에 맞는 일차부등식 세우기 (3점) 3. 부등식을 정확히 풀기 (2점) 4. 최종 답안을 단위와 함께 정확히 제시 (1점)

감점 요인

1. 시간 단위를 통일하지 않고 15분이나 1시간 30분을 그대로 식에 대입하는 실수 2. 물건을 사는 시간을 총 시간에 포함하지 않고 식을 세우는 실수 3. 부등호의 방향을 잘못 설정하거나 계산 과정에서 분수 처리를 틀리는 경우

모범 답안

역에서 상점까지의 거리를 $x$ km라고 합시다. 갈 때 걸리는 시간은 $\frac{x}{2}$ 시간, 올 때 걸리는 시간은 $\frac{x}{4}$ 시간입니다. 물건을 사는 데 걸리는 시간은 15분이므로 시간으로 환산하면 $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ 시간입니다. 총 여유 시간이 1시간 30분이므로 $\frac{3}{2}$ 시간입니다. 따라서 $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{x}{4} \leq \frac{3}{2}$ 이라는 부등식을 세울 수 있습니다. 양변에 4를 곱하면 $2 x + 1 + x \leq 6$ 이 되고, $3 x \leq 5$ 가 되어 $x \leq \frac{5}{3}$ 입니다. 따라서 최대 $\frac{5}{3}$ km 떨어진 상점까지 갔다 올 수 있습니다.

필요한 실력

거리, 속력, 시간의 관계를 이해하고, 단위를 통일하여 일차부등식을 세우고 풀 수 있는 능력

학습 대안

거리, 속력, 시간 공식을 완벽하게 암기하고, 다양한 상황에 적용하는 연습을 합니다.
문제에 주어진 시간 단위(분, 시간)를 하나로 통일하는 훈련을 반복합니다.
일차부등식 활용 문제를 풀 때, 미지수 설정부터 식 세우기, 풀이, 답 확인까지의 과정을 꼼꼼하게 서술하는 연습을 합니다.

출제 의도

원기둥과 원뿔의 부피 구하는 공식을 정확히 알고, 두 입체도형의 부피가 같다는 조건을 이용하여 미지수를 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

원기둥의 부피 구하기: 밑넓이(π × a²) × 높이(3a) = 3πa³ → 원뿔의 부피 구하기: 1/3 × 밑넓이(π × (2a)²) × 높이(h) = 4/3πa²h → 두 부피가 같음을 이용하여 방정식 세우기: 3πa³ = 4/3πa²h → 방정식 풀기: h = 3πa³ × 3/(4πa²) = 9/4a

채점 포인트

[2-1] 원기둥의 부피를 정확히 구하고 과정을 서술했는가 (2점) [2-2] 원뿔의 부피를 h를 사용하여 정확히 나타내고 과정을 서술했는가 (2점) [2-3] [2-1]과 [2-2]의 결과가 같음을 이용하여 방정식 세우기 (1점), h의 값을 정확히 구하기 (2점)

감점 요인

원뿔의 부피를 구할 때 1/3을 곱하는 것을 잊어버리는 실수가 잦습니다. 또한, 반지름 2a를 제곱할 때 2를 제곱하지 않고 2a²으로 계산하는 오류가 발생할 수 있습니다. 마지막으로 방정식을 풀 때 π나 a를 약분하지 않고 남겨두는 실수도 주의해야 합니다.

모범 답안

[2-1] 원기둥의 밑면의 넓이는 π × a² = πa² 이고, 높이는 3a이므로 부피는 πa² × 3a = 3πa³ 입니다. [2-2] 원뿔의 밑면의 넓이는 π × (2a)² = 4πa² 이고, 높이는 h이므로 부피는 1/3 × 4πa² × h = 4/3πa²h 입니다. [2-3] 원기둥에 가득 찬 물을 원뿔에 부었을 때 가득 찼으므로 두 그릇의 부피는 같습니다. 즉, 3πa³ = 4/3πa²h 입니다. 양변을 4/3πa²으로 나누면 h = 3πa³ × 3/(4πa²) = 9/4a 입니다. 따라서 원뿔 모양 그릇의 높이 h는 9/4a 입니다.

필요한 실력

원기둥과 원뿔의 부피 공식을 정확히 암기하고, 문자가 포함된 식의 계산을 능숙하게 할 수 있어야 합니다.

학습 대안

원기둥, 원뿔, 구의 겉넓이와 부피 공식을 백지에 적어보며 완벽하게 암기합니다.
문자가 포함된 단항식의 곱셈과 나눗셈 연습 문제를 하루 10문제씩 풀어 계산 실수를 줄입니다.
부피가 같다는 조건을 이용해 방정식을 세우고 미지수를 구하는 유형의 문제를 반복해서 풀어봅니다.

04다음 시험 대비 계획

이번 시험 경향으로 본 이 학교 맞춤 공부 순서

4주 전

교과서와 기본서를 활용해 연립방정식과 일차함수의 핵심 개념 정리하기
단원별 대표 유형 문제를 풀며 기본 연산 규칙 숙지하기
이전 학년의 방정식과 그래프 관련 취약 개념 복습하기

2주 전

복잡한 연립방정식과 활용 문제 집중 풀이로 계산 속도 높이기
일차함수 그래프를 직접 그려보며 x절편, y절편, 기울기 의미 파악하기
자주 틀리는 문항을 모아 오답 노트를 작성하고 원인 분석하기

1주 전

실제 시험과 동일한 시간(45분)을 재고 기출 모의고사 풀기
서술형 대비를 위해 풀이 과정을 생략 없이 깔끔하게 적는 연습하기
오답 노트에 기록된 취약 유형을 반복해서 풀며 실전 감각 끌어올리기

팀스영어수학학원 분석 · 난이도와 해설은 학원 분석 기준이며 학교 공식 자료가 아닙니다