동탄중 2학년 수학 2026 1학기 기말고사 분석

01출제 범위

단원별 배점

일차함수 단원이 전체의 절반 이상(59점)을 차지했으며, 연립방정식과 일차방정식 단원이 고루 출제되었습니다.

02예년 시험과 비교

동탄중 2학년 수학 최근 2번의 시험

03문항 지도

시험 문제 전체를 한눈에 보는 그림입니다.

• •네모 칸 하나가 문제 하나입니다.
• •라벤더색 칸은 객관식, 주황색 칸(점선 테두리)은 서술형(논술형) 문제입니다.
• •색이 진할수록 어려운 문제입니다.
• •칸을 누르면 그 문제의 해설로 이동합니다.

04문항별 해설

1번부터 끝까지 26문항을 순서대로 실었습니다.

• •점수를 가른 어려운 문제와 서술형 12문항(13·14·16·18·19·20번, 논술형 1-1·1-2·1-3·2-1·2-2·2-3번)은 심층 분석으로 펼쳐 두었습니다.
• •심층 분석에는 출제 의도, 풀이 과정, 틀리기 쉬운 곳, 공부 방법까지 담았습니다.
• •나머지 문항은 누르면 문항 그림과 해설이 펼쳐집니다.
• •오타 등으로 정답이 틀릴 수 있습니다. 오류가 있을 경우 학원에 알려 주세요.

13번적용 · 중 · 5점심층 분석정답 ③

출제 의도

미지수가 포함된 연립방정식의 해가 다른 일차방정식을 만족할 때, 미지수의 값을 구하는 능력을 평가합니다. 세 개의 방정식 중 온전한 두 개를 먼저 연립하여 해를 구하고, 이를 나머지 방정식에 대입하여 미지수를 찾는 과정을 이해하고 있는지 확인합니다.

풀이 과정

미지수 a가 없는 두 방정식 $3x-y=11$과 $x+\frac{1}{7}y=7$을 선택합니다. → 두 번째 방정식의 양변에 7을 곱하여 $7x+y=49$로 만듭니다. → $3x-y=11$과 $7x+y=49$를 더하여 $10x=60$을 얻고, $x=6$을 구합니다. → $x=6$을 $3x-y=11$에 대입하여 $y=7$을 구합니다. → 구한 해 $x=6,y=7$을 $2x+3ay=-30$에 대입하여 $12+21a=-30$을 풀면 $a=-2$가 됩니다.

함정

방정식 $x+\frac{1}{7}y=7$에서 분수를 처리하는 과정에서 계산 실수를 하거나, 구한 $x,y$ 값을 $2x+3ay=-30$에 대입할 때 부호나 곱셈을 잘못하여 오답을 고를 수 있습니다.

정답

③

필요한 실력

세 개의 방정식 중 미지수가 없는 두 방정식을 먼저 연립하여 해를 구한 뒤, 나머지 방정식에 대입하여 미지수를 구하는 문제 해결 능력이 필요합니다.

학습 대안

• 미지수가 포함된 연립방정식 문제에서 온전한 두 방정식을 찾아 먼저 푸는 연습을 합니다.
• 분수나 소수가 포함된 일차방정식을 정수 계수로 바꾸어 푸는 계산 연습을 꾸준히 합니다.
• 구한 해를 다른 방정식에 대입할 때 부호와 곱셈에 주의하며 검산하는 습관을 기릅니다.

14번추론·증명 · 중 · 5점심층 분석정답 ⑤

출제 의도

연립방정식의 해의 의미를 이해하고, 주어진 조건(양수)을 활용하여 해의 부호를 추론할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 또한, 구체적인 값을 대입하여 해를 직접 구하는 계산 능력도 함께 확인합니다.

풀이 과정

ㄱ. 첫 번째 식 $x-2y=2$를 $x$에 대해 정리하면 $x=2y+2=2(y+1)$이므로 참입니다. → ㄴ. 두 식을 더하거나 빼서 $(a+1)x=b$ 형태를 만들 수 있는지 확인합니다. $x-2y=2$와 $ax+y=b-1$에서 $y$를 소거하기 위해 두 번째 식에 2를 곱해 더하면 $(1+2a)x=2b$가 되므로 거짓입니다. → ㄷ. ㄱ에서 $x=2(y+1)$이고, 두 번째 식에서 $y=-ax+b-1$입니다. 이를 첫 번째 식에 대입하면 $x-2(-ax+b-1)=2$, $(1+2a)x=2b$입니다. $a,b$가 양수이므로 $1+2a>0,2b>0$이 되어 $x$ 즉, $p$는 양수입니다. 따라서 참입니다. → ㄹ. $a=1,b=6$을 대입하면 연립방정식은 $x-2y=2,x+y=5$가 됩니다. 두 식을 빼면 $-3y=-3$에서 $y=1$이고, $x=4$가 됩니다. 즉 $p=4,q=1$이므로 참입니다. → 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이므로 정답은 ⑤번입니다.

함정

ㄴ 보기를 대충 눈으로만 보고 식을 변형하면 나올 것 같다고 착각하여 ③번이나 ④번을 고를 수 있습니다. 직접 식을 조작하여 확인하는 과정이 필요합니다.

정답

⑤

필요한 실력

연립방정식의 식을 자유자재로 변형하고, 문자의 부호 조건을 이용하여 해의 범위를 추론하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

• 연립방정식의 가감법과 대입법을 이용하여 한 문자를 소거하는 연습을 꾸준히 합니다.
• 문자가 포함된 식에서 주어진 조건(양수, 음수 등)을 활용하여 식 전체의 부호를 판단하는 연습을 합니다.
• 합답형(ㄱ, ㄴ, ㄷ 고르기) 문제는 각 보기를 하나의 독립된 문제처럼 생각하고 꼼꼼하게 참/거짓을 판별하는 훈련을 합니다.

16번적용 · 중 · 5점심층 분석정답 ②

출제 의도

세 직선이 삼각형을 이루지 않을 조건을 이해하고, 이를 만족하는 미지수의 값을 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 직선의 위치 관계와 교점의 의미를 정확히 파악하고 있어야 합니다.

풀이 과정

세 직선이 삼각형을 이루지 않는 경우는 두 직선이 평행하거나, 세 직선이 한 점에서 만나는 경우입니다. → 첫 번째 직선(y=2x+3)과 두 번째 직선(y=x-1)은 기울기가 다르므로 평행하지 않습니다. → 세 번째 직선(y=-1/a x)이 첫 번째 또는 두 번째 직선과 평행할 조건은 기울기가 같을 때이므로, -1/a = 2 또는 -1/a = 1에서 a = -1/2, a = -1을 구합니다. → 세 직선이 한 점에서 만날 조건은 첫 번째와 두 번째 직선의 교점(-4, -5)을 세 번째 직선이 지날 때이므로, -4 - 5a = 0에서 a = -4/5를 구합니다. → 구한 모든 a의 값의 곱은 (-1/2) × (-1) × (-4/5) = -2/5 입니다.

함정

세 직선이 한 점에서 만나는 경우만 생각하거나, 두 직선이 평행한 경우만 생각하여 일부 a의 값만 구한 후 곱하면 오답을 고르기 쉽습니다. 특히 평행 조건 중 하나를 빠뜨리면 ①번이나 ③번을 선택할 수 있습니다.

정답

②

필요한 실력

세 직선이 삼각형을 이루지 않을 세 가지 조건을 모두 떠올리고, 각각의 경우에 맞는 미지수 값을 정확히 계산해 내는 꼼꼼함이 필요합니다.

학습 대안

• 세 직선의 위치 관계에 따른 삼각형 형성 조건을 개념 노트에 정리하고 암기하세요.
• 직선의 방정식을 y=ax+b 형태로 바꾸어 기울기와 y절편을 빠르게 파악하는 연습을 매일 10문제씩 하세요.
• 조건을 나누어 푸는 문제에서 빠뜨리는 경우가 없도록, 풀이 과정을 단계별로 번호를 매겨가며 적는 습관을 기르세요.

18번적용 · 상 · 5점심층 분석정답 ②

출제 의도

일차함수의 그래프가 주어진 선분과 만나기 위한 기울기의 조건을 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 특히, y절편이 고정된 상태에서 기울기가 변할 때 그래프가 어떻게 움직이는지 이해하고 부등식으로 범위를 나타낼 수 있는지 확인합니다.

풀이 과정

일차함수 y=ax+1의 그래프는 항상 점 (0, 1)을 지납니다. → 이 그래프가 선분 AB와 만나려면, 점 A(-2, -4)를 지날 때와 점 B(2, -6)을 지날 때의 기울기 a의 값을 각각 구해야 합니다. → 점 A(-2, -4)를 대입하면 -4 = -2a + 1에서 a = 5/2 입니다. → 점 B(2, -6)을 대입하면 -6 = 2a + 1에서 a = -7/2 입니다. → 그래프를 그려보면 기울기 a가 -7/2보다 작거나 같거나, 5/2보다 크거나 같아야 선분 AB와 만납니다. 따라서 p = -7/2, q = 5/2 이며, p+q = -1 입니다.

함정

기울기의 범위를 구할 때 부등호의 방향을 반대로 생각하여 -7/2 ≤ a ≤ 5/2 로 잘못 구하면 오답을 고를 수 있습니다. 또한, p와 q의 값을 구한 후 덧셈 과정에서 부호 실수를 할 수 있습니다.

정답

②

필요한 실력

고정된 점을 지나는 직선이 선분과 만나기 위한 기울기의 경계값을 구하고, 그래프를 통해 올바른 부등식 범위를 설정할 수 있어야 합니다.

학습 대안

• 일차함수 식에서 y절편이 주어졌을 때, 항상 지나는 점을 좌표평면 위에 표시하는 연습을 합니다.
• 기울기가 변함에 따라 직선이 어떻게 회전하는지 직접 그려보며 시각적으로 이해합니다.
• 직선이 선분과 만나는 양 끝점의 조건을 구한 후, 부등호 방향을 결정할 때 반드시 그래프를 그려서 확인하는 습관을 기릅니다.

19번적용 · 중 · 5점심층 분석정답 ②

출제 의도

세 일차방정식의 그래프를 좌표평면에 그리고, 교점의 좌표를 구하여 삼각형의 넓이를 계산할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 또한, 두 삼각형의 넓이의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내는 능력을 확인합니다.

풀이 과정

세 직선의 방정식을 연립하여 교점 A, B, C, D의 좌표를 구합니다. → 점 A는 $2x+y=6$과 $x+y=6$의 교점인 $(0,6)$입니다. 점 B는 $2x+y=6$과 $x-y=3$의 교점인 $(3,0)$입니다. 점 C는 $x+y=6$과 $x-y=3$의 교점인 $(4.5,1.5)$입니다. 점 D는 $x-y=3$과 $x+y=6$의 교점인 $(4.5,1.5)$입니다. (오류: 그래프를 보면 B는 x축 위의 점, C도 x축 위의 점, D는 교점입니다.) → 다시 교점을 구합니다. 점 A는 y축 위의 점이므로 $(0,6)$입니다. 점 B는 $2x+y=6$의 x절편이므로 $(3,0)$입니다. 점 C는 $x+y=6$의 x절편이므로 $(6,0)$입니다. 점 D는 $x-y=3$과 $x+y=6$의 교점이므로 연립방정식을 풀면 $(4.5,1.5)$입니다. → $△ABD$의 넓이는 밑변을 선분 AB로 볼 수 없으므로, 전체 $△ADC$에서 $△DBC$를 빼거나, 좌표를 이용하여 구합니다. $△ADC$의 밑변은 선분 AC가 아니고, $△ABC$의 밑변을 선분 BC로 보면 길이는 $6-3=3$이고 높이는 점 A의 y좌표인 6이므로 넓이는 $\frac{1}{2}\times 3\times 6=9$입니다. $△DBC$의 밑변을 선분 BC로 보면 길이는 3이고 높이는 점 D의 y좌표인 1.5이므로 넓이는 $\frac{1}{2}\times 3\times 1.5=2.25$입니다. → $△ABD$의 넓이는 $△ABC-△DBC=9-2.25=6.75$입니다. → $△ABD$와 $△DBC$의 넓이의 비는 $6.75:2.25=3:1$입니다.

함정

교점의 좌표를 잘못 구하거나, 삼각형의 밑변과 높이를 잘못 설정하여 넓이를 틀리게 계산할 수 있습니다. 특히 점 D의 좌표를 구할 때 연립방정식 계산 실수가 잦습니다.

정답

②

필요한 실력

일차방정식의 그래프의 교점을 연립방정식을 통해 정확히 구하고, 이를 바탕으로 도형의 넓이를 계산하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

• 일차방정식과 일차함수의 관계를 이해하고, 그래프의 교점이 연립방정식의 해와 같음을 복습합니다.
• 좌표평면 위에 그려진 도형의 넓이를 구하는 다양한 방법(밑변과 높이 찾기, 전체 넓이에서 빼기 등)을 연습합니다.
• 연립방정식의 풀이(가감법, 대입법)를 빠르고 정확하게 할 수 있도록 하루 10문제씩 꾸준히 연습합니다.

20번적용 · 중 · 6점심층 분석정답 ①

출제 의도

두 연립방정식의 해가 같다는 조건을 이용하여 미지수 k의 값을 구하는 능력을 평가합니다. 복잡해 보이는 식을 정리하고, 해가 같다는 의미를 정확히 이해하여 새로운 연립방정식을 세워 풀 수 있는지 확인합니다.

풀이 과정

두 연립방정식의 해가 같으므로, 네 개의 일차방정식 중 어느 두 개를 골라 연립하여 풀어도 해는 같습니다. → 미지수 k가 포함되지 않은 식을 찾으려 했으나 모든 식에 k가 포함되어 있습니다. 따라서 k가 포함된 식들을 적절히 가감하여 x, y에 대한 식을 유도하거나, k에 대한 식을 유도해야 합니다. → 첫 번째 연립방정식의 두 식을 빼면 $(k+2)x=-6-3k=-3(k+2)$가 됩니다. → $k$는 자연수이므로 $k+2\ne 0$입니다. 양변을 $k+2$로 나누면 $x=-3$을 얻습니다. → $x=-3$을 첫 번째 연립방정식의 첫 번째 식에 대입하면 $-3k+y=3$, 즉 $y=3k+3$입니다. → 구한 $x,y$ 값을 두 번째 연립방정식의 첫 번째 식에 대입하면 $3k(-3)+2(3k+3)=3$이 됩니다. → 이 식을 정리하면 $-9k+6k+6=3$, $-3k=-3$이 되어 $k=1$을 구할 수 있습니다.

함정

식이 4개나 주어지고 모든 식에 미지수 k가 포함되어 있어 당황하기 쉽습니다. 해가 같다는 조건의 의미를 파악하지 못하고 각각의 연립방정식을 따로 풀려고 시도하다가 계산이 복잡해져 포기하거나 실수할 수 있습니다.

정답

①

필요한 실력

해가 같다는 조건의 의미를 이해하고, 주어진 식들을 적절히 조합하여 원하는 미지수의 값을 구해내는 대수적 조작 능력이 필요합니다.

학습 대안

• 해가 같은 두 연립방정식 문제 유형을 집중적으로 연습합니다. 미지수가 포함되지 않은 두 식을 골라 연립하는 기본 유형부터, 이 문제처럼 모든 식에 미지수가 포함된 응용 유형까지 단계별로 풀어봅니다.
• 복잡한 식을 가감법이나 대입법을 이용하여 간단히 정리하는 연습을 꾸준히 합니다. 식을 변형할 때 부호 실수나 계산 실수가 없도록 주의하며 푸는 습관을 기릅니다.
• 문제를 풀 때 무작정 계산부터 시작하기보다, 주어진 조건들을 어떻게 활용할지 먼저 계획을 세우는 연습을 합니다.

논술형 1-1번개념 이해 · 하 · 2점심층 분석정답 아래

출제 의도

일차함수 그래프의 평행이동 개념을 정확히 이해하고, 이를 수식으로 표현할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

주어진 일차함수 식 확인: y = -2x + 4 → y축 방향으로 -8만큼 평행이동한다는 조건 확인 → 평행이동한 식 세우기: y = -2x + 4 - 8 → 식 정리하기: y = -2x - 4

채점 포인트

평행이동의 원리를 적용하여 식을 세우는 과정이 명확히 서술되었는가 (1점), 최종적으로 올바른 일차함수 식을 구했는가 (1점)로 나뉘어 채점될 것으로 예상됩니다.

감점 요인

평행이동할 때 부호를 헷갈려 y = -2x + 4 + 8로 잘못 계산하는 실수가 흔합니다. 또한, 풀이 과정을 생략하고 답만 적어 감점될 수 있습니다.

모범 답안

일차함수 y = -2x + 4의 그래프를 y축 방향으로 -8만큼 평행이동하면, 기존 식의 우변에 -8을 더해주면 됩니다. 따라서 평행이동한 직선의 식은 y = -2x + 4 - 8이 되고, 이를 정리하면 y = -2x - 4입니다.

필요한 실력

일차함수 그래프를 y축 방향으로 평행이동할 때, 식의 상수항에 이동한 만큼의 값을 더해주는 원리를 알아야 합니다.

학습 대안

• 교과서의 일차함수 평행이동 관련 예제와 유제를 다시 풀어보며 개념을 확실히 다집니다.
• 다양한 일차함수 식을 y축 방향으로 양수, 음수만큼 평행이동하는 연습을 하루 10문제씩 꾸준히 합니다.
• 서술형 문제에 대비하여 풀이 과정을 논리적으로 차근차근 적는 연습을 합니다.

논술형 1-2번계산 · 하 · 3점심층 분석정답 아래

출제 의도

일차함수의 식에서 x절편과 y절편의 뜻을 정확히 이해하고, 이를 구하는 과정을 논리적으로 서술할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

[1-1]에서 구한 일차함수의 식 확인하기 → x절편을 구하기 위해 y=0을 대입하여 x값 계산하기 → y절편을 구하기 위해 x=0을 대입하여 y값 계산하기 → 구한 x절편과 y절편을 명확하게 제시하기

채점 포인트

x절편을 구하는 과정과 답이 정확한가 (1.5점), y절편을 구하는 과정과 답이 정확한가 (1.5점)로 나뉘어 채점될 가능성이 높습니다. 과정 없이 답만 쓴 경우 부분 감점이 있을 수 있습니다.

감점 요인

x절편을 구할 때 x=0을 대입하거나, y절편을 구할 때 y=0을 대입하는 등 절편의 정의를 헷갈려 대입을 반대로 하는 실수가 잦습니다. 또한, 계산 과정 없이 답만 적어 서술형 감점을 받는 경우가 있습니다.

모범 답안

[1-1]에서 구한 일차함수의 식은 y = -2x - 4입니다. x절편을 구하기 위해 y = 0을 대입하면 0 = -2x - 4, 2x = -4, x = -2이므로 x절편은 -2입니다. y절편을 구하기 위해 x = 0을 대입하면 y = -2(0) - 4, y = -4이므로 y절편은 -4입니다. 따라서 x절편: -2, y절편: -4입니다.

필요한 실력

일차함수 식에 x=0, y=0을 각각 대입하여 절편을 정확하게 계산하고 그 과정을 글로 풀어쓸 수 있어야 합니다.

학습 대안

• 일차함수의 x절편과 y절편의 뜻을 교과서에서 다시 한번 읽고 정리해 봅니다.
• 다양한 일차함수 식을 두고 x절편과 y절편을 구하는 연습을 하루에 5문제씩 꾸준히 합니다.
• 서술형 문제에 대비하여, 답만 구하지 말고 'y=0일 때~', 'x=0일 때~'와 같이 풀이 과정을 꼼꼼히 적는 연습을 합니다.

논술형 1-3번추론·증명 · 중 · 2점심층 분석정답 아래

출제 의도

일차함수의 그래프가 축과 만나는 점을 찾아 삼각형을 만들고, 원점을 지나는 직선이 그 삼각형의 넓이를 이등분하는 조건을 이해하고 있는지 평가하는 문항입니다. 도형의 성질과 일차함수의 식을 연결하여 문제를 해결하는 능력을 봅니다.

풀이 과정

[1-1]에서 구한 일차함수의 식(예: $y=-2x-4$)의 $x$절편과 $y$절편을 구하여 삼각형의 꼭짓점 좌표를 찾습니다. → 원점을 지나는 직선 $y=ax$가 삼각형의 넓이를 이등분하려면, 원점과 마주 보는 변의 중점을 지나야 함을 파악합니다. → 두 절편을 이은 선분의 중점 좌표를 구합니다. → 구한 중점의 좌표를 $y=ax$에 대입하여 $a$의 값을 계산합니다.

채점 포인트

삼각형의 꼭짓점(절편) 좌표를 올바르게 구했는가 (부분 점수 부여 가능), 넓이를 이등분하는 조건(중점을 지남)을 서술했는가 (부분 점수 부여 가능), 중점의 좌표를 정확히 구하고 $a$의 값을 바르게 계산했는가 (최종 점수).

감점 요인

앞선 문항 [1-1]에서 일차함수의 식을 잘못 구하면 이 문제도 틀리게 됩니다. 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선이 중점을 지난다는 성질을 떠올리지 못해 넓이를 직접 계산하려다 시간을 낭비하거나 계산 실수를 할 수 있습니다. 중점의 좌표를 구하는 공식을 헷갈려 부호를 잘못 적는 경우도 흔합니다.

모범 답안

[1-1]에서 구한 일차함수의 식을 $y=-2x-4$라고 가정합니다. 이 함수의 $x$절편은 $-2$, $y$절편은 $-4$이므로, 삼각형의 꼭짓점은 $(0,0)$, $(-2,0)$, $(0,-4)$입니다. 직선 $y=ax$는 원점 $(0,0)$을 지납니다. 이 직선이 삼각형의 넓이를 이등분하려면, 원점과 마주 보는 변(두 점 $(-2,0)$과 $(0,-4)$를 이은 선분)의 중점을 지나야 합니다. 두 점 $(-2,0)$, $(0,-4)$의 중점의 좌표는 $\left(\frac{-2+0}{2},\frac{0-4}{2}\right)=(-1,-2)$입니다. 직선 $y=ax$가 점 $(-1,-2)$를 지나므로 식에 대입하면, $-2=a\times (-1)$ 입니다. 따라서 $a=2$ 입니다.

필요한 실력

일차함수의 절편을 구하고, 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선의 성질(중점 지남)을 이용하여 미지수를 구할 수 있어야 합니다.

학습 대안

• 일차함수의 식을 보고 $x$절편과 $y$절편을 빠르고 정확하게 구하는 연습을 매일 10문제씩 하세요.
• 좌표평면 위에 그려진 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선의 특징(꼭짓점과 대변의 중점을 지남)을 개념 노트에 정리하고 관련 문제를 풀어보세요.
• 두 점의 좌표가 주어졌을 때 선분의 중점을 구하는 공식을 완벽하게 암기하고, 부호가 다른 두 점의 중점을 구하는 연습을 반복하세요.

논술형 2-1번적용 · 중 · 3점심층 분석정답 아래

출제 의도

일차함수의 그래프를 이해하고, 주어진 상황에 맞는 관계식을 세울 수 있는지 평가하는 문항입니다. 특히, 그래프의 절편과 기울기의 의미를 파악하여 식을 도출하는 능력을 확인합니다.

풀이 과정

그래프에서 현지의 출발 위치 파악 (y절편 = 30) → 현지가 결승점(150m)에 도착하는 시간 파악 (민기가 25초에 도착하고 15초 후이므로 25 + 15 = 40초) → 현지의 그래프가 지나는 두 점 (0, 30), (40, 150) 확인 → 두 점을 이용하여 기울기 계산: (150 - 30) / (40 - 0) = 120 / 40 = 3 → y절편이 30이고 기울기가 3인 일차함수 식 완성: y = 3x + 30

채점 포인트

현지의 그래프가 지나는 두 점 (0, 30), (40, 150)을 정확히 찾았는가 (1점) / 기울기를 올바르게 계산했는가 (1점) / 최종 관계식 y = 3x + 30을 정확히 도출했는가 (1점)

감점 요인

현지가 도착한 시간을 그래프에서 바로 읽지 못하고 민기가 도착한 시간(25초)으로 착각하여 기울기를 잘못 구하는 실수가 잦습니다. 또한, 현지가 30m 앞에서 출발했다는 조건을 놓치고 원점을 지나는 그래프로 식을 세우는 경우도 감점 요인입니다.

모범 답안

현지는 30m 앞에서 출발했으므로 x=0일 때 y=30입니다. 즉, 그래프는 점 (0, 30)을 지납니다. 민기가 150m 결승점에 도착한 시간은 25초이고, 현지는 그보다 15초 늦게 도착했으므로 현지가 도착한 시간은 25 + 15 = 40초입니다. 따라서 현지의 그래프는 점 (40, 150)을 지납니다. 두 점 (0, 30), (40, 150)을 지나는 직선의 기울기는 (150 - 30) / (40 - 0) = 120 / 40 = 3입니다. y절편이 30이므로, x와 y 사이의 관계식은 y = 3x + 30입니다.

필요한 실력

그래프의 x절편, y절편, 그리고 특정 점의 좌표를 정확히 읽어내어 일차함수 식을 세울 수 있어야 합니다.

학습 대안

• 일차함수 그래프가 주어졌을 때, 지나는 두 점의 좌표를 찾아 기울기와 y절편을 구하는 연습을 반복합니다.
• 실생활 활용 문제에서 '출발점', '도착점', '시간 차이' 등의 조건이 그래프에 어떻게 나타나는지 연결 짓는 훈련을 합니다.
• 서술형 문제에 대비하여, 식을 세우는 과정을 논리적으로 차근차근 적어보는 연습을 꾸준히 합니다.

논술형 2-2번적용 · 중 · 2점심층 분석정답 아래

출제 의도

일차함수의 개념을 이해하고, 실생활 상황을 수학적 관계식으로 표현할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 특히 속력, 시간, 거리의 관계를 이용하여 함수식을 세우는 능력을 확인합니다.

풀이 과정

문제 상황 파악: 민기가 출발한 지 $x$초 후의 거리를 $y$m라고 정의합니다. → 속력 확인: 앞선 문제(2-1)에서 구한 민기의 속력을 확인합니다. (예: 초속 6m) → 관계식 세우기: '거리 = 속력 × 시간' 공식을 이용하여 $y=6x$라는 관계식을 도출합니다.

채점 포인트

관계식 $y=6x$를 정확히 구했는가 (1점), 그 과정을 논리적으로 서술했는가 (1점)로 나뉘어 채점될 것으로 예상됩니다.

감점 요인

앞선 문제에서 속력을 잘못 구하여 이 문제까지 연쇄적으로 틀리는 경우가 많습니다. 또한, $x$와 $y$의 단위를 헷갈려 식을 잘못 세우거나, 풀이 과정을 생략하고 답만 적어 감점될 수 있습니다.

모범 답안

민기의 속력이 초속 6m이므로, $x$초 동안 이동한 거리는 $6x$m입니다. 따라서 출발점에서의 거리 $y$와 시간 $x$ 사이의 관계식은 $y=6x$입니다.

필요한 실력

주어진 상황을 변수 $x,y$로 두고, 속력·시간·거리의 관계를 이용하여 정확한 일차함수 식을 세울 수 있어야 합니다.

학습 대안

• 속력, 시간, 거리에 관한 다양한 실생활 활용 문제를 풀어보며 식 세우는 연습을 합니다.
• 서술형 문제에 대비하여 풀이 과정을 논리적으로 적는 연습을 꾸준히 합니다.
• 앞선 문제의 결과가 다음 문제에 영향을 주는 세트형 문항을 풀 때, 실수가 없도록 꼼꼼히 검토하는 습관을 기릅니다.

논술형 2-3번적용 · 중 · 3점심층 분석정답 아래

출제 의도

이 문항은 일상생활의 상황을 일차함수와 연립방정식으로 모델링하고, 이를 풀어 문제를 해결할 수 있는지 평가합니다. 특히 두 사람의 이동 거리와 시간에 대한 관계식을 세우고 교점을 찾는 능력을 확인합니다.

풀이 과정

현지의 이동 거리 관계식 세우기 (y = 3x + 30) → 민기의 이동 거리 관계식 세우기 (y = 6x) → 두 식을 연립하여 방정식 세우기 (y = 3x + 30, y = 6x) → 연립방정식 풀기 (6x = 3x + 30, x = 10) → 구한 해의 의미를 해석하여 답안 작성하기 (10초 후)

채점 포인트

연립방정식을 정확히 세웠는가 (1점) / 연립방정식을 올바르게 풀었는가 (1점) / 최종 답안을 문제 상황에 맞게 서술하였는가 (1점)

감점 요인

두 사람의 출발 시간이 다르거나 속력이 다른 상황을 정확히 수식으로 표현하지 못해 오답이 나올 수 있습니다. 또한, 연립방정식을 세우라는 조건이 있으므로, 단순히 직관적으로 답만 구하면 감점될 수 있습니다.

모범 답안

현지의 이동 거리를 y, 시간을 x라 하면 관계식은 y = 3x + 30입니다. 민기의 관계식은 y = 6x입니다. 이 두 식을 연립방정식으로 세우면 y = 3x + 30, y = 6x가 됩니다. 대입법을 이용하여 풀면 6x = 3x + 30, 3x = 30이 되어 x = 10입니다. 따라서 민기가 출발하고 나서 10초 후에 현지를 앞지르기 시작합니다.

필요한 실력

상황에 맞는 일차함수 식을 세우고, 두 식의 교점을 연립방정식을 통해 구할 수 있는 능력

학습 대안

• 속력, 시간, 거리에 관한 다양한 활용 문제를 풀어보며 식 세우는 연습을 합니다.
• 두 일차함수의 그래프가 만나는 점의 좌표가 연립방정식의 해와 같다는 개념을 복습합니다.
• 서술형 문제에 대비하여 풀이 과정을 논리적이고 꼼꼼하게 적는 연습을 매일 2문제씩 합니다.

05다음 시험 대비 계획

이번 시험 경향으로 본 이 학교 맞춤 공부 순서