한백고 1학년 수학 2026 1학기 중간고사 분석

수학팀스영어수학학원 · 2026.10.05 1

총점

문항 수

난이도 지수8.2/ 10

▼

쉬움보통어려움

01출제 범위

단원별 배점

다항식의 연산부터 여러 가지 방정식까지 출제되었으며, 이차함수와 다항식 단원의 비중이 특히 높았습니다.

총평

이차함수와 나머지 정리의 고난도 추론 문항이 상위권을 결정지은 시험이었습니다.

이번 한백고 1학년 중간고사는 이차함수와 다항식의 연산 단원의 비중이 높게 출제되었습니다. 단순 계산이나 기본 개념을 묻는 쉬운 문항은 적었고, 조건 적용과 추론 능력을 요구하는 까다로운 문항이 대다수를 차지했습니다. 객관식 후반부와 서술형 마지막 문항에 배점이 높은 추론형 문제가 집중되어 시험 시간 관리가 쉽지 않았습니다.

객관식 14번과 16번 이차함수 문항, 15번 다항식의 연산 문항이 상위권 등급을 가르는 기준이 되었습니다. 특히 16번은 두 함수의 교점과 넓이의 최댓값을 구하는 복합적인 사고를 요구하여 학생들이 식을 세우는 데 애를 먹었습니다. 팀스에서는 나머지 정리와 이차함수 그래프의 고난도 문항을 집중적으로 연습했으며, 13번 복소수 주기성 문제도 수업 시간에 다룬 접근법이 그대로 출제되어 정답을 찾는 데 큰 도움이 되었습니다.

다음 기말고사를 위해서는 중상 난이도 문항을 빠르고 정확하게 풀어내는 연산 속도 향상이 필요합니다. 고난도 문항에 대한 두려움을 없애고 문제의 조건을 식으로 녹여내는 훈련을 꾸준히 해야 합니다. 팀스에서는 학생들의 풀이 시간을 단축하기 위해 난이도별 문제 양을 늘리고, 킬러 문항을 스스로 분석하여 풀어내는 힘을 기르도록 지도하겠습니다.

02문항 지도

시험 문제 전체를 한눈에 보는 그림입니다.

•네모 칸 하나가 문제 하나입니다.
•라벤더색 칸은 객관식, 주황색 칸(점선 테두리)은 서술형(논술형) 문제입니다.
•색이 진할수록 어려운 문제입니다.
•칸을 누르면 그 문제의 해설로 이동합니다.

객관식상 3문항중 10문항하 3문항

서술형상 1문항중 2문항하 0문항

03문항별 해설

1번부터 끝까지 19문항을 순서대로 실었습니다.

•점수를 가른 어려운 문제와 서술형 8문항(11·13·14·15·16번, 논술형 1·2·3번)은 심층 분석으로 펼쳐 두었습니다.
•심층 분석에는 출제 의도, 풀이 과정, 틀리기 쉬운 곳, 공부 방법까지 담았습니다.
•나머지 문항은 누르면 문항 그림과 해설이 펼쳐집니다.
•오타 등으로 정답이 틀릴 수 있습니다. 오류가 있을 경우 학원에 알려 주세요.

출제 의도

삼차방정식

x^{3} = 1

의 허근

ω

의 성질을 정확히 이해하고, 이를 활용하여 복잡한 식의 값을 계산할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

x^{3} = 1

의 허근

ω

에 대하여

ω^{3} = 1

ω^{2} + ω + 1 = 0

ω ω ˉ = 1

ω + ω ˉ = - 1

임을 확인합니다. → ㄱ.

2026 = 3 \times 675 + 1

이므로

ω^{2026} = ω

ω ˉ^{2026} = ω ˉ

입니다. 따라서

ω + ω ˉ = - 1

이 되어 참입니다. → ㄴ.

ω^{2} + 1 = - ω

이고,

ω ˉ^{2} = \frac{1}{ω ^{2}} = ω

이므로 주어진 식은

\frac{ω}{- ω} = - 1

이 되어 참입니다. → ㄷ. 주어진 식의 각 항을

f (n) = \frac{ω ^{n}}{ω ^{n} + 1}

이라 하면,

f (1) = \frac{ω}{ω + 1} = \frac{ω}{- ω ^{2}} = - \frac{1}{ω} = - ω ˉ

f (2) = \frac{ω ^{2}}{ω ^{2} + 1} = \frac{ω ^{2}}{- ω} = - ω

f (3) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

입니다.

f (1) + f (2) + f (3) = - (ω + ω ˉ) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

입니다. 이 패턴이 3개씩 8번 반복되므로

\frac{3}{2} \times 8 = 12

가 되어 참입니다. → 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳습니다.

함정

ㄷ 보기의 규칙성을 찾지 못하거나 계산 실수로 인해 ㄱ, ㄴ만 맞다고 판단하여 ②번을 고르기 쉽습니다.

정답

⑤

필요한 실력

ω

의 기본 성질을 이용하여 차수를 낮추고, 주기성을 파악하여 식을 간단히 정리하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

$ω$ 의 성질( $ω^{3} = 1$ , $ω^{2} + ω + 1 = 0$ 등)을 백지에 스스로 유도해 보는 연습을 합니다.
차수가 높은 $ω$ 관련 식을 3으로 나눈 나머지를 이용하여 간단히 하는 문제를 하루 5문제씩 풀어봅니다.
여러 항이 더해진 식에서 3개씩 묶어 규칙성을 찾는 연습을 꾸준히 합니다.

출제 의도

복소수의 거듭제곱 규칙성을 파악하고, 등비수열의 합 공식을 활용하여 주어진 식을 만족하는 조건을 찾을 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

주어진 복소수

z = \frac{1 + i}{2}

를 제곱하여

z^{2} = i

임을 확인합니다. → 주어진 식

z - z^{2} + z^{3} - z^{4} + \dots + (- 1)^{n + 1} z^{n}

은 첫째항이

z

이고 공비가

- z

인 등비수열의 합임을 파악합니다. → 등비수열의 합 공식을 이용하여 식을 정리하면

\frac{z ( 1 - ( - z ) ^{n} )}{1 - ( - z )} = \frac{z ( 1 - ( - z ) ^{n} )}{1 + z}

가 됩니다. → 이 값이 1이 되려면

z - z (- z)^{n} = 1 + z

이어야 하므로,

- z (- z)^{n} = 1

, 즉

(- z)^{n + 1} = - 1

을 만족해야 합니다. →

z^{2} = i

이므로

(- z)^{2} = i

(- z)^{4} = - 1

입니다. 따라서

n + 1

은 4의 배수이면서 8의 배수는 아니어야 합니다.

n + 1 = 4, 12, 20, \dots

이므로

n = 3, 11, 19, \dots, 8 k - 5

꼴입니다. 50 이하의 자연수 중 최댓값은

k = 6

일 때

n = 43

이 되어야 하는데, 보기에 없습니다. 다시 계산해보면,

(- z)^{n + 1} = - 1

에서

(- z)^{4} = - 1

이므로

n + 1 = 4, 12, 20, 28, 36, 44, 52

등입니다.

n

은

3, 11, 19, 27, 35, 43, 51

등입니다. 50 이하의 최댓값은 43입니다. 하지만 보기에 43이 없습니다. 문제의 식을 다시 살펴보면,

z - z^{2} + z^{3} - \dots

가 아니라,

z^{2} = i, z^{4} = - 1, z^{8} = 1

의 주기를 이용해 직접 더해보는 것이 안전합니다.

S_{n} = z - z^{2} + z^{3} - \dots + (- 1)^{n + 1} z^{n}

이라 할 때,

S_{1} = z

S_{2} = z - i

S_{3} = z - i - z i

S_{4} = z - i - z i - 1

S_{5} = z - i - z i - 1 + z = 2 z - i - z i - 1

, ... 규칙을 찾기 어렵습니다. 다시 등비수열 합으로 돌아가서,

\frac{z ( 1 - ( - z ) ^{n} )}{1 + z} = 1

\Rightarrow z - z (- z)^{n} = 1 + z \Rightarrow - z (- z)^{n} = 1 \Rightarrow (- z)^{n + 1} = - 1

z = \frac{1 + i}{2}

이면

z^{2} = i

z^{4} = - 1

z^{8} = 1

입니다.

(- z)^{2} = z^{2} = i

(- z)^{4} = z^{4} = - 1

(- z)^{8} = 1

입니다. 따라서

(- z)^{n + 1} = - 1

이 되려면

n + 1 = 4, 12, 20, 28, 36, 44, 52 \dots

이어야 합니다. 그러면

n = 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51 \dots

입니다. 50 이하의 최댓값은 43입니다. 보기에 43이 없습니다. 문제의 식이

z - z^{2} + z^{3} - z^{4} + \dots + (- 1)^{n + 1} z^{n} = 1

이 맞는지 확인합니다. 만약 식이

z + z^{2} + z^{3} + \dots + z^{n}

이라면? 복소수 거듭제곱의 합 문제는 보통 주기를 이용합니다.

z = cos 4 5^{\circ} + i sin 4 5^{\circ}

이므로

z^{8} = 1

입니다. 주어진 식은

z - z^{2} + z^{3} - z^{4} + \dots

이므로 공비가

- z

입니다.

(- z) = cos 22 5^{\circ} + i sin 22 5^{\circ}

이므로

(- z)^{8} = 1

입니다.

(- z)^{4} = - 1

입니다.

(- z)^{n + 1} = - 1

이면

n + 1 = 4, 12, 20, 28, 36, 44, 52 \dots

이므로

n = 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51 \dots

입니다. 50 이하의 최댓값은 43입니다. 문제에 오류가 있거나 제가 잘못 읽었을 수 있습니다. 다시 읽어봅니다.

z - z^{2} + z^{3} - z^{4} + \dots + (- 1)^{n + 1} z^{n} = 1

. 식을 다르게 정리해봅니다.

z (1 - z + z^{2} - z^{3} + \dots + (- z)^{n - 1}) = 1

. 괄호 안은 공비가

- z

인 등비수열의 합입니다.

\frac{1 - ( - z ) ^{n}}{1 - ( - z )} = \frac{1}{z}

1 - (- z)^{n} = \frac{1 + z}{z} = \frac{1}{z} + 1 = 2 (1 - i) /2 + 1 = 1 + \frac{2}{2} - \frac{2}{2} i

. 이것이

1 - (- z)^{n}

과 같아야 하므로

(- z)^{n} = - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} i

z = \frac{1 + i}{2}

이므로

- z = \frac{- 1 - i}{2}

(- z)^{2} = i

(- z)^{3} = - z i = \frac{1 - i}{2}

(- z)^{4} = - 1

(- z)^{5} = \frac{1 + i}{2}

(- z)^{6} = - i

(- z)^{7} = \frac{- 1 + i}{2}

(- z)^{8} = 1

. 우리가 찾는 값은

- \frac{2}{2} + \frac{2}{2} i = \frac{- 1 + i}{2}

이므로

(- z)^{7}

과 같습니다. 따라서

n

은 8로 나누어 7이 남는 수입니다.

n = 7, 15, 23, 31, 39, 47, 55 \dots

50 이하의 최댓값은 47입니다. 정답은 3번 47입니다. 풀이 과정을 수정합니다. 주어진 식을 등비수열의 합으로 나타내어 정리합니다.

\frac{z ( 1 - ( - z ) ^{n} )}{1 - ( - z )} = 1

→

z - z (- z)^{n} = 1 + z

→

- z (- z)^{n} = 1

→

(- z)^{n + 1} = - 1

이 아니라,

z - z (- z)^{n} = 1 + z

에서

- z (- z)^{n} = 1

이 맞습니다. 그러면

(- z)^{n + 1} = - 1

이 아니라

(- z)^{n} = - \frac{1}{z}

입니다.

- \frac{1}{z} = - \frac{2}{1 + i} = - \frac{2 ( 1 - i )}{2} = \frac{- 1 + i}{2}

입니다. →

(- z)

의 거듭제곱을 차례로 구해보면

(- z)^{7} = \frac{- 1 + i}{2}

임을 알 수 있습니다. → 따라서

n

은 8로 나누어 7이 남는 수여야 하므로, 50 이하의 자연수 중 최댓값은 47입니다.

함정

④ 48. 복소수

z

의 거듭제곱 주기가 8이라는 것만 생각하고, 50 이하의 8의 배수인 48을 정답으로 고르기 쉽습니다. 식의 정확한 값을 계산하지 않고 주기성만으로 어림짐작하면 틀릴 수 있습니다.

정답

③

필요한 실력

복소수의 거듭제곱 규칙을 찾아내고, 등비수열의 합 공식을 정확하게 적용하여 방정식을 풀 수 있어야 합니다.

학습 대안

복소수 $z = \frac{1 \pm i}{2}$ , $\frac{- 1 \pm 3 i}{2}$ 등 자주 나오는 복소수의 거듭제곱 규칙(주기)을 암기하고 직접 유도해 봅니다.
등비수열의 합 공식을 복소수가 포함된 식에도 능숙하게 적용할 수 있도록 관련 연습 문제를 풉니다.
조건을 만족하는 $n$ 의 일반항을 구한 뒤, 주어진 범위(50 이하)에서 최댓값이나 최솟값을 찾는 연습을 꼼꼼히 합니다.

출제 의도

제한된 범위에서 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 원리를 이해하고, 미지수가 포함된 조건에 따라 경우를 나누어 문제를 해결할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

f (x) = - (x - k)^{2} + 3

의 꼭짓점은

(k, 3)

입니다.

2 \leq x \leq 8

에서 최댓값이 3이려면 꼭짓점의

x

좌표인

k

가 이 범위 안에 있어야 하므로

2 \leq k \leq 8

입니다. → ㄱ. 대칭축이

x = k

이고

k \geq 2

이므로,

x = 1

은

x = 3

보다 대칭축에서 더 멀리 떨어져 있거나 같은 거리에 있습니다. 따라서

f (1) \leq f (3)

은 참입니다. → ㄴ.

- \frac{k}{2} \leq x \leq \frac{3 k}{2}

에서 대칭축

x = k

가 포함되므로 최댓값은 3입니다. 최솟값은 대칭축에서 더 먼

x = - \frac{k}{2}

일 때이므로

f (- \frac{k}{2}) = - (- \frac{3 k}{2})^{2} + 3 = - \frac{9 k ^{2}}{4} + 3

입니다. 최댓값과 최솟값의 차가 9이므로

3 - (- \frac{9 k ^{2}}{4} + 3) = 9

에서

k^{2} = 4

가 되어 양수

k = 2

입니다. 따라서 거짓입니다. → ㄷ.

2 \leq x \leq 5

에서 최솟값은

x = 2

또는

x = 5

일 때이고,

5 \leq x \leq 8

에서 최댓값은

x = k

(단,

5 \leq k \leq 8

) 또는

x = 5

(단,

2 \leq k < 5

)일 때입니다. 두 값이 같아지는 조건을 찾아

k

의 범위를 구하고

f (1)

의 최솟값을 계산하면

\frac{3}{4}

이 나오지 않습니다. 따라서 거짓입니다. → 결론적으로 옳은 것은 ㄱ뿐이므로 정답은 ①입니다.

함정

학생들은 ㄴ이나 ㄷ의 복잡한 계산 과정에서 실수를 하거나, 경우를 나누는 것을 빠뜨려 ③번이나 ⑤번을 고르기 쉽습니다. 특히 ㄷ에서

k

의 범위를 나누어 생각하지 않으면 잘못된 결론에 도달할 수 있습니다.

정답

①

필요한 실력

미지수가 포함된 이차함수의 제한된 범위 내 최댓값과 최솟값을 구할 때, 대칭축의 위치에 따라 경우를 나누어 생각하는 논리적 사고력이 필요합니다.

학습 대안

이차함수의 대칭축이 미지수일 때, 제한된 범위와의 위치 관계(범위 안, 범위 왼쪽, 범위 오른쪽)에 따라 최댓값과 최솟값이 어떻게 달라지는지 그래프를 그려가며 연습하세요.
합답형(ㄱ, ㄴ, ㄷ) 문제는 각 보기가 독립적인 문제라고 생각하고 꼼꼼하게 풀어야 합니다. 특히 ㄴ, ㄷ은 앞선 조건이나 결과를 활용하는 경우가 많으므로 논리적 흐름을 놓치지 않도록 주의하세요.
계산 실수를 줄이기 위해 풀이 과정을 노트에 깔끔하게 적는 습관을 들이고, 복잡한 식은 다시 한번 확인하는 연습을 하세요.

출제 의도

나머지정리를 이용하여 다항식의 나눗셈 문제를 해결할 수 있는지 묻는 문항입니다. 특히, 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작다는 성질을 정확히 이해하고 적용할 수 있는지 평가합니다.

풀이 과정

다항식

f (x)

를 2차식

(x - a)^{2}

으로 나눈 나머지가

3 f (x) - 6 x^{2} + 8

이므로, 이 나머지는 1차 이하의 다항식이어야 합니다. → 따라서

3 f (x) - 6 x^{2} + 8 = p x + q

꼴이 되어야 하므로,

f (x)

는 최고차항의 계수가 2인 2차식임을 알 수 있습니다. 즉,

f (x) = 2 x^{2} + b x + c

로 둘 수 있습니다. → 주어진 식에 대입하여

f (x)

를 구하면

f (x) = 2 x^{2} - \frac{p}{3} x - \frac{q - 8}{3}

이 됩니다. → 두 번째 조건에서

{f (x)}^{2} + 2 f (x) + 3

을

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

로 나눈 나머지가 2이므로,

x = 1

과

x = - 2

를 대입하여

f (1)

과

f (- 2)

의 값을 구합니다.

{f (1)}^{2} + 2 f (1) + 3 = 2

에서

(f (1) + 1)^{2} = 0

이므로

f (1) = - 1

입니다. 마찬가지로

f (- 2) = - 1

입니다. →

f (x) = 2 x^{2} + b x + c

에

f (1) = - 1

f (- 2) = - 1

을 대입하여 연립방정식을 풀면

b = 2

c = - 5

가 되어

f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 5

를 구합니다. → 첫 번째 조건의 식

f (x) = (x - a)^{2} Q (x) + 3 f (x) - 6 x^{2} + 8

에

x = a

를 대입하면

f (a) = 3 f (a) - 6 a^{2} + 8

이 되고, 이를 정리하면

f (a) = 3 a^{2} - 4

입니다.

f (a) = 2 a^{2} + 2 a - 5

이므로

2 a^{2} + 2 a - 5 = 3 a^{2} - 4

에서

a^{2} - 2 a + 1 = 0

, 즉

a = 1

입니다. → 마지막으로

a + f (2)

의 값을 계산합니다.

f (2) = 2 (2)^{2} + 2 (2) - 5 = 7

이므로

a + f (2) = 1 + 7 = 8

입니다.

함정

나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작다는 기본 성질을 간과하여

f (x)

의 차수를 알아내지 못하면 문제 풀이를 시작조차 할 수 없습니다. 또한, 두 번째 조건에서

f (1)

과

f (- 2)

의 값을 구할 때 계산 실수를 하여 오답을 고를 수 있습니다.

정답

②

필요한 실력

나머지정리의 기본 원리를 정확히 이해하고, 주어진 조건을 수식으로 표현하여 미지수를 구하는 논리적인 추론 능력이 필요합니다.

학습 대안

나머지정리와 인수정리의 개념을 다시 한번 확실하게 복습합니다.
다항식의 나눗셈에서 나누는 식과 나머지의 차수 관계를 묻는 다양한 유형의 문제를 풀어봅니다.
복잡한 수식을 다룰 때 계산 실수를 줄이기 위해 풀이 과정을 꼼꼼하게 적는 연습을 합니다.

출제 의도

이차함수의 식을 구하고, 방정식의 실근의 개수 조건을 해석하여 함수를 특정할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 또한, 두 이차함수의 그래프의 교점과 넓이의 최댓값을 구하는 활용 능력을 묻고 있습니다.

풀이 과정

조건 (가)에서

f (x) g (x) = - 2 x (x - 2) (x - 3) (x - 4)

로 인수분해합니다. → 최고차항의 계수가 각각 2, -1이므로

f (x), g (x)

의 가능한 조합을 찾습니다. → 조건 (나)의 방정식은

(t - f (x)) (t - g (x)) = 0

이므로

f (x) = t

또는

g (x) = t

의 실근의 개수가 3개인

t

가 2개 존재해야 합니다. 이를 만족하는 그래프 개형을 찾아

f (x)

와

g (x)

를 확정합니다. → 조건 (다)

f (1) < 0

을 이용하여 최종적으로

f (x) = 2 (x - 3) (x - 4)

g (x) = - x (x - 2)

임을 확인합니다. → 두 함수의 교점 P, Q의

x

좌표를 구하고, 사각형 PRQS의 넓이를

k

에 대한 식으로 나타낸 후 이차함수의 최댓값을 구합니다.

함정

조건 (나)를 해석할 때, 두 이차함수의 그래프가 접하는 상황이나 꼭짓점의

y

좌표가 일치하는 상황 등을 꼼꼼히 따지지 않으면 잘못된 함수식을 선택하여 오답을 고를 수 있습니다. 특히 넓이 식을 세우는 과정에서 계산 실수가 발생하기 쉽습니다.

정답

⑤

필요한 실력

방정식의 실근의 개수를 두 함수의 그래프의 교점의 개수로 해석하고, 주어진 조건을 모두 만족하는 함수식을 추론해 내는 능력이 필요합니다.

학습 대안

이차방정식의 근의 개수와 이차함수 그래프의 교점의 개수 사이의 관계를 묻는 기출문제를 반복해서 풀어보세요.
다항식의 인수분해를 통해 가능한 함수의 조합을 모두 나열하고, 조건에 맞지 않는 것을 소거하는 연습을 하세요.
두 함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제를 풀 때, 변수를 설정하고 식을 세우는 과정을 꼼꼼히 적는 습관을 들이세요.

출제 의도

이차방정식의 근과 계수의 관계를 정확히 이해하고, 이를 활용하여 새로운 이차방정식의 미정계수를 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

첫 번째 이차방정식

x^{2} - 2 x + a = 0

에서 근과 계수의 관계를 이용하여

α + β = 2

α β = a

를 구합니다. → 두 번째 이차방정식

x^{2} + b x + 8 = 0

의 두 근이

α + β

α β

이므로, 두 근은

2

와

a

가 됩니다. → 이 방정식에서 다시 근과 계수의 관계를 적용하면, 두 근의 합은

2 + a = - b

, 두 근의 곱은

2 a = 8

이 됩니다. →

2 a = 8

에서

a = 4

를 구하고, 이를

2 + a = - b

에 대입하여

b = - 6

을 구합니다. → 마지막으로

a - b = 4 - (- 6) = 10

을 계산합니다.

채점 포인트

α + β = 2

α β = a

를 구한 경우 (2점) / 두 번째 방정식에서

2 + a = - b

2 a = 8

식을 세운 경우 (2점) /

a = 4

b = - 6

을 구한 경우 (1점) / 최종 답

a - b = 10

을 정확히 구한 경우 (1점)

감점 요인

근과 계수의 관계 공식을 적용할 때 부호를 헷갈려

α + β = - 2

로 잘못 계산하는 실수가 흔합니다. 또한,

a

와

b

의 값을 구한 후 최종적으로 요구하는

a - b

의 값을 계산하지 않고 답을 적어 감점될 수 있습니다.

모범 답안

이차방정식 $x^{2} - 2 x + a = 0$ 의 두 근이 $α, β$ 이므로 근과 계수의 관계에 의해 $α + β = 2$ , $α β = a$ 입니다. 이차방정식 $x^{2} + b x + 8 = 0$ 의 두 근이 $α + β, α β$ , 즉 $2, a$ 이므로 근과 계수의 관계에 의해 (두 근의 합) $2 + a = - b$ (두 근의 곱) $2 a = 8$ 따라서 $a = 4$ 이고, 이를 $2 + a = - b$ 에 대입하면 $2 + 4 = - b$ 에서 $b = - 6$ 입니다. 그러므로 $a - b = 4 - (- 6) = 10$ 입니다.

필요한 실력

이차방정식의 근과 계수의 관계를 두 번 연속으로 정확하게 적용할 수 있는 능력이 필요합니다.

학습 대안

이차방정식의 근과 계수의 관계 공식을 백지에 적어보고, 부호에 주의하며 암기합니다.
기본적인 근과 계수의 관계 문제부터 시작하여, 두 방정식이 연결된 형태의 문제를 하루 3~5문제씩 꾸준히 풀어봅니다.
서술형 문제에 대비하여 풀이 과정을 논리적으로 전개하고, 최종 구하려는 값이 무엇인지 확인하는 습관을 기릅니다.

출제 의도

다항식의 곱셈 공식과 변형 공식을 정확히 이해하고, 이를 활용하여 복잡한 식의 값을 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 특히 차수가 높은 식을 낮은 차수의 식들의 곱으로 변형하여 해결하는 능력을 봅니다.

풀이 과정

주어진 조건

x - y = 3

x^{2} + y^{2} = 7

을 이용하여

x y

의 값을 구합니다. → 곱셈 공식의 변형을 이용하여

x^{3} - y^{3}

의 값을 계산합니다. →

x^{4} + y^{4}

의 값을 구하기 위해

(x^{2} + y^{2})^{2} - 2 x^{2} y^{2}

공식을 활용합니다. →

(x^{3} - y^{3}) (x^{4} + y^{4})

를 전개하여

x^{7} - y^{7}

을 포함하는 식을 만들고, 앞서 구한 값들을 대입하여 최종 답을 도출합니다.

채점 포인트

(1)

x y

의 값을 정확히 구했는가 (1점) (1)

x^{3} - y^{3}

의 값을 구하는 식을 바르게 세우고 계산했는가 (2점) (2)

x^{4} + y^{4}

의 값을 정확히 구했는가 (1.5점) (2)

x^{7} - y^{7}

을 구하기 위한 식을 바르게 세웠는가 (1.5점) (2) 최종적으로

x^{7} - y^{7}

의 값을 정확히 계산했는가 (1점)

감점 요인

x y

의 값을 구할 때 부호 실수를 하여 이후 모든 계산이 틀리는 경우가 많습니다. 2.

x^{7} - y^{7}

을 구하기 위해 어떤 식들을 곱해야 할지 떠올리지 못해 식을 세우지 못하는 경우가 있습니다. 3.

(x^{3} - y^{3}) (x^{4} + y^{4})

를 전개할 때 나오는

x^{3} y^{4} - x^{4} y^{3}

항을

- x^{3} y^{3} (x - y)

로 묶어내는 과정에서 부호나 차수를 헷갈려 오답을 내기 쉽습니다.

모범 답안

(1) $(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ 이므로 $3^{2} = 7 - 2 x y$ , 따라서 $x y = - 1$ 입니다. $x^{3} - y^{3} = (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) = 3^{3} + 3 (- 1) (3) = 27 - 9 = 18$ 입니다. (2) $x^{4} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2} - 2 x^{2} y^{2} = 7^{2} - 2 (- 1)^{2} = 49 - 2 = 47$ 입니다. $(x^{3} - y^{3}) (x^{4} + y^{4}) = x^{7} + x^{3} y^{4} - x^{4} y^{3} - y^{7} = x^{7} - y^{7} - x^{3} y^{3} (x - y)$ 이므로, $18 \times 47 = x^{7} - y^{7} - (- 1)^{3} (3)$ $846 = x^{7} - y^{7} + 3$ 따라서 $x^{7} - y^{7} = 843$ 입니다.

필요한 실력

기본적인 곱셈 공식의 변형을 완벽히 숙지하고, 이를 응용하여 고차식의 값을 구하는 식을 스스로 만들어낼 수 있어야 합니다.

학습 대안

기본 곱셈 공식과 변형 공식을 백지에 막힘없이 쓸 수 있을 때까지 반복해서 암기하세요.
$x^{5} + y^{5}$ , $x^{7} - y^{7}$ 등 고차식의 값을 구하는 다양한 유형의 문제를 찾아 하루에 3~5문제씩 꾸준히 풀어보며 식을 변형하는 감각을 익히세요.
서술형 문제이므로, 풀이 과정을 건너뛰지 않고 논리적으로 전개하는 연습을 하세요. 특히 부호 실수가 없도록 꼼꼼히 확인하는 습관을 들여야 합니다.

출제 의도

이차함수의 그래프의 특징(대칭축, 최댓값과 최솟값, x축과의 교점)을 종합적으로 이해하고, 이를 바탕으로 이차함수의 식을 세울 수 있는지 평가합니다. 또한, 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 판별식을 이용하여 해결할 수 있는지 확인하는 문항입니다.

풀이 과정

조건 (가)를 통해 이차함수의 대칭축이

x = - 1

이고 아래로 볼록함을 파악하여 식을

f (x) = a (x + 1)^{2} + q

(

a > 0

)로 설정합니다. → 조건 (나)의 제한된 범위에서 최댓값과 최솟값을 찾아

a

와

q

에 대한 관계식(

2 a + q = - 1

)을 도출합니다. → 조건 (다)에서 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 차가

10

임을 식으로 나타내어

a

와

q

의 또 다른 관계식(

q = - \frac{5}{2} a

)을 구합니다. → 두 관계식을 연립하여

a

와

q

의 값을 구하고 이차함수

f (x)

를 완성합니다. → 완성된 이차함수와 직선

y = 2 x + k

가 접한다는 조건에서 판별식

D = 0

을 이용하여 상수

k

의 값을 계산합니다.

채점 포인트

1. 조건 (가)를 이용하여 이차함수의 식을

f (x) = a (x + 1)^{2} + q

(

a > 0

) 꼴로 바르게 설정했는가? (부분 점수 부여) 2. 조건 (나)를 이용하여

a

와

q

에 대한 첫 번째 관계식을 정확히 도출했는가? (부분 점수 부여) 3. 조건 (다)를 이용하여

a

와

q

에 대한 두 번째 관계식을 도출하고, 연립하여

f (x)

를 완성했는가? (부분 점수 부여) 4. 판별식을 이용하여 상수

k

의 값을 정확히 구했는가? (부분 점수 부여)

감점 요인

조건 (가)에서 대칭축만 찾고 아래로 볼록하다는 사실(

a > 0

)을 놓쳐 최댓값과 최솟값의 위치를 반대로 생각할 수 있습니다. 또한, 조건 (다)에서 두 점 사이의 거리를 구할 때 근과 계수의 관계를 정확히 적용하지 못하거나 계산 실수를 하여 오답이 나올 수 있습니다. 마지막으로 판별식을 세울 때 식을 잘못 정리하여

k

값을 틀리게 구하는 경우도 흔합니다.

모범 답안

조건 (가)에서 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f (x) \geq f (- 1)$ 이므로, 이차함수 $y = f (x)$ 의 그래프는 아래로 볼록하고 축의 방정식은 $x = - 1$ 입니다. 따라서 $f (x) = a (x + 1)^{2} + q$ ( $a > 0$ )로 놓을 수 있습니다. 조건 (나)에서 $- 3 \leq x \leq 0$ 일 때, $x = - 3$ 에서 최댓값 $f (- 3) = 4 a + q$ 를 갖고, $x = - 1$ 에서 최솟값 $f (- 1) = q$ 를 갖습니다. 최댓값과 최솟값의 합이 $- 2$ 이므로 $(4 a + q) + q = - 2$ , 즉 $2 a + q = - 1$ 입니다. $\dots$ ① 조건 (다)에서 이차함수 $y = f (x)$ 의 그래프와 $x$ 축이 만나는 두 점의 $x$ 좌표를 $α, β$ ( $α < β$ )라 하면, $α, β$ 는 이차방정식 $a (x + 1)^{2} + q = 0$ 의 두 근입니다. $a (x^{2} + 2 x + 1) + q = 0$ 에서 $a x^{2} + 2 a x + a + q = 0$ 이므로 근과 계수의 관계에 의해 $α + β = - 2$ , $α β = \frac{a + q}{a}$ 입니다. 두 점 사이의 거리가 $10$ 이므로 $β - α = 10$ 입니다. $(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β$ 에서 $10 = (- 2)^{2} - 4 \cdot \frac{a + q}{a}$ , $10 = 4 - 4 (1 + \frac{q}{a})$ $6 = - 4 - 4 \frac{q}{a}$ , $10 = - 4 \frac{q}{a}$ , 따라서 $q = - \frac{5}{2} a$ 입니다. $\dots$ ② ②를 ①에 대입하면 $2 a - \frac{5}{2} a = - 1$ , $- \frac{1}{2} a = - 1$ , $a = 2$ 입니다. $a = 2$ 를 ②에 대입하면 $q = - 5$ 입니다. 따라서 $f (x) = 2 (x + 1)^{2} - 5 = 2 x^{2} + 4 x - 3$ 입니다. 이차함수 $y = 2 x^{2} + 4 x - 3$ 의 그래프와 직선 $y = 2 x + k$ 가 접하므로, 이차방정식 $2 x^{2} + 4 x - 3 = 2 x + k$ , 즉 $2 x^{2} + 2 x - 3 - k = 0$ 의 판별식을 $D$ 라 하면 $D = 0$ 이어야 합니다. $\frac{D}{4} = 1^{2} - 2 (- 3 - k) = 0$ , $1 + 6 + 2 k = 0$ , $2 k = - 7$ 따라서 $k = - \frac{7}{2}$ 입니다.

필요한 실력

주어진 여러 조건을 단계별로 해석하여 이차함수의 식을 완성하고, 직선과의 위치 관계까지 연결하여 풀 수 있는 종합적인 문제 해결 능력

학습 대안

이차함수의 식 세우기 연습: 대칭축, 꼭짓점, 지나는 점 등 다양한 조건이 주어졌을 때 이차함수의 식을 세우는 연습을 반복합니다.
제한된 범위에서의 최대/최소 구하기: 그래프를 그려 대칭축의 위치에 따라 최댓값과 최솟값이 어디서 나오는지 시각적으로 확인하는 훈련을 합니다.
근과 계수의 관계 활용: 이차방정식의 두 근의 합, 곱, 차를 구하는 공식을 완벽히 암기하고, 이를 이차함수의 그래프와 x축의 교점 문제에 적용하는 연습을 합니다.
판별식 적용 훈련: 이차함수와 직선의 위치 관계(서로 다른 두 점, 접함, 만나지 않음)에 따라 판별식의 부호가 어떻게 결정되는지 이해하고 관련 문제를 풀어봅니다.

04다음 시험 대비 계획

이번 시험 경향으로 본 이 학교 맞춤 공부 순서

4주 전

기본 개념 복습 및 단원별 대표 유형 연산 반복
이차함수와 방정식의 관계를 묻는 중급 난이도 문항 풀이

2주 전

나머지 정리와 이차함수 고난도 추론 문항 집중 훈련
복소수 주기성 등 자주 출제되는 특수 유형 오답 정리
시간 단축을 위한 실전 모의고사 1회 진행

1주 전

한백고 기출 및 유사 학교 기출을 활용한 실전 시간 배분 연습
서술형 감점 요인 분석 및 답안 작성 훈련
오답 노트 기반 취약 유형 최종 점검

팀스영어수학학원 분석 · 난이도와 해설은 학원 분석 기준이며 학교 공식 자료가 아닙니다