동탄중 3학년 수학 2026 2학기 중간고사 분석

수학팀스영어수학학원 · 2026.10.06 4

총점

문항 수

난이도 지수3.6/ 10

▼

쉬움보통어려움

01출제 범위

단원별 배점

대푯값과 산포도부터 삼각비의 활용까지 출제되었으며, 통계 단원의 비중이 전체의 절반 가까이 차지했습니다.

총평

통계의 복잡한 계산과 삼각비의 도형 적용이 맞물려 시간 관리가 관건이었던 시험입니다.

이번 시험은 대푯값과 산포도부터 삼각비의 활용까지 출제되었으며 난이도 상 문항 없이 평이한 수준으로 구성되었습니다. 지난 학기보다 체감 난이도 지수는 낮아졌지만 서술형 배점이 30점으로 크게 늘어 답안 작성에 부담을 느낀 학생들이 많았습니다. 특히 대푯값과 산포도 단원에서만 44점이 배점되어 편차와 분산을 구하는 과정에서 계산 실수를 유발하는 문항이 다수 배치되었습니다. 삼각비 단원 역시 단순 공식 암기보다는 직각삼각형의 닮음과 입체도형을 활용하는 문제들이 주를 이루었습니다.

객관식 7번은 분산 공식을 이용해 이차방정식을 세우고 풀어야 해서 대수 연산이 약한 학생들은 시간을 많이 빼앗겼을 문항입니다. 객관식 16번은 각의 이등분선 성질과 삼각형의 넓이 공식을 결합해 75√3/8이라는 복잡한 분수 형태의 답을 도출해야 하므로 확신을 가지기 어려웠을 것입니다. 객관식 17번은 이차함수의 꼭짓점과 절편을 구해 삼각비 값을 찾는 문제로 이전 학년의 개념이 탄탄해야 풀 수 있었습니다. 팀스는 통계 파트에서 평균이 주어지지 않은 상태로 분산을 유추하는 문제와 이차방정식으로 이어지는 계산을 집중적으로 연습했으며 이번 7번 문항을 미리 대비해 실전에서 당황하지 않도록 지도했습니다.

다음 시험을 준비하기 위해서는 단원 간 융합 문제에 대한 적응력을 높이는 훈련을 해야 합니다. 이번 17번 문항처럼 이차함수나 원의 성질 등 이전 학기에 배운 도형과 대수 개념이 언제든 다시 등장할 수 있으므로 취약한 부분은 반드시 복습해 두어야 합니다. 또한 서술형 비중이 높아진 만큼 평소 문제집을 풀 때도 풀이 과정을 건너뛰지 않고 논리적으로 전개하는 연습을 반복해야 합니다. 통계 단원 역시 단순 계산을 넘어 편차의 합이 0이 되는 이유 등 개념의 원리를 정확히 이해하고 서술하는 능력을 길러야 고득점을 받을 수 있습니다.

02예년 시험과 비교

동탄중 3학년 수학 최근 2번의 시험

난이도 지수

1~10, 문항 난이도와 배점을 반영한 팀스 환산 지수 · 점선 = 같은 학년 다른 학교 평균

서술형 배점

시험마다 서술형 점수

지난 1학기 중간고사 대비 전체적인 난이도는 소폭 하락했으나, 서술형 배점이 15점에서 30점으로 두 배 늘어났습니다.

03문항 지도

시험 문제 전체를 한눈에 보는 그림입니다.

•네모 칸 하나가 문제 하나입니다.
•라벤더색 칸은 객관식, 주황색 칸(점선 테두리)은 서술형(논술형) 문제입니다.
•색이 진할수록 어려운 문제입니다.
•칸을 누르면 그 문제의 해설로 이동합니다.

객관식상 0문항중 12문항하 5문항

서술형상 0문항중 2문항하 6문항

04문항별 해설

1번부터 끝까지 25문항을 순서대로 실었습니다.

•점수를 가른 어려운 문제와 서술형 14문항(7·8·9·13·15·16번, 논술형 1- 1-1·1-2·1-3번, 논술형 2-1·2-2·2-3·3-1·3-2번)은 심층 분석으로 펼쳐 두었습니다.
•심층 분석에는 출제 의도, 풀이 과정, 틀리기 쉬운 곳, 공부 방법까지 담았습니다.
•나머지 문항은 누르면 문항 그림과 해설이 펼쳐집니다.
•오타 등으로 정답이 틀릴 수 있습니다. 오류가 있을 경우 학원에 알려 주세요.

출제 의도

자료의 평균과 분산을 구하는 공식을 정확히 이해하고, 이를 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

자료의 평균 구하기: (4 + 8 + 12 + a + 6 - a) / 5 = 30 / 5 = 6 → 각 자료의 편차 구하기: -2, 2, 6, a - 6, -a → 분산 구하기: {(-2)^2 + 2^2 + 6^2 + (a - 6)^2 + (-a)^2} / 5 = 14 → 이차방정식 풀기: 44 + a^2 - 12a + 36 + a^2 = 70, 2a^2 - 12a + 10 = 0, a^2 - 6a + 5 = 0, (a - 1)(a - 5) = 0 → a의 값 구하기: a = 1 또는 a = 5

함정

이차방정식을 푸는 과정에서 계산 실수를 하거나, 두 근 중 하나만 구하고 답을 선택할 수 있습니다. 특히 부호 실수를 주의해야 합니다.

정답

②

필요한 실력

평균과 분산의 정의를 이용하여 식을 세우고, 이차방정식을 정확하게 풀 수 있는 능력이 필요합니다.

학습 대안

평균, 편차, 분산, 표준편차의 뜻과 구하는 공식을 백지에 적어보며 완벽하게 암기합니다.
미지수가 포함된 자료의 평균과 분산을 구하는 문제를 하루에 3문제씩 꾸준히 풀어봅니다.
이차방정식의 풀이(인수분해, 근의 공식)를 복습하고, 계산 실수를 줄이기 위해 풀이 과정을 꼼꼼히 적는 연습을 합니다.

출제 의도

평균, 최빈값, 중앙값의 뜻을 정확히 알고, 주어진 조건을 만족하는 미지수의 범위를 구하여 중앙값의 최댓값을 추론할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

자료의 개수가 8개이므로 평균은 (7+8+5+8+6+9+x+y)/8 = (43+x+y)/8 입니다. → 평균이 7 이하이므로 (43+x+y)/8 ≤ 7, 즉 x+y ≤ 13 입니다. → 최빈값이 8이 되려면 x, y 중 적어도 하나는 8이 아니어야 하며, 다른 수가 3번 이상 나오면 안 됩니다. 이미 8이 2번 있으므로 최빈값 조건은 만족합니다. → 중앙값은 크기순으로 나열했을 때 4번째와 5번째 값의 평균입니다. 중앙값이 최대가 되려면 x, y가 가능한 한 커야 합니다. → x+y ≤ 13 이고 x, y는 자연수이므로, x, y가 될 수 있는 값 중 큰 값들을 생각해보면 (5, 8), (6, 7) 등이 가능합니다. 자료를 크기순으로 나열하여 중앙값이 가장 커지는 경우를 찾으면, x=5, y=8일 때 자료는 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9가 되어 중앙값은 (7+8)/2 = 7.5가 됩니다.

함정

x, y의 조건을 꼼꼼히 따지지 않고 단순히 평균 식만 세우거나, 최빈값 조건을 잘못 해석하여 중앙값을 잘못 계산할 수 있습니다. 특히 x, y가 자연수라는 조건을 놓치면 오답을 고르기 쉽습니다.

정답

③

필요한 실력

대푯값(평균, 최빈값, 중앙값)의 정의를 이용하여 미지수가 포함된 자료의 조건을 부등식으로 나타내고, 경우를 나누어 최댓값을 구하는 논리적 추론 능력이 필요합니다.

학습 대안

평균, 최빈값, 중앙값의 정확한 뜻과 구하는 방법을 복습합니다.
미지수가 포함된 자료에서 대푯값이 주어졌을 때, 식이나 부등식을 세워 미지수의 값이나 범위를 구하는 연습을 합니다.
조건을 만족하는 여러 가지 경우를 직접 나열해 보고, 그중에서 최댓값이나 최솟값을 찾는 훈련을 꾸준히 합니다.

출제 의도

평균과 분산의 정의를 정확히 이해하고, 주어진 조건을 이용해 미지수를 구한 뒤 새로운 자료의 분산을 계산할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

자료 x, 4, 6, 2의 평균이 y이므로 (x+4+6+2)/4 = y, 즉 x+12 = 4y 식을 세웁니다. → 분산이 12이므로 편차의 제곱의 평균 식을 세웁니다: {(x-y)² + (4-y)² + (6-y)² + (2-y)²}/4 = 12. → 앞서 구한 x = 4y-12를 분산 식에 대입하여 y값을 구하고, 이어서 x값을 찾습니다. → 구한 x값을 새로운 자료 x, 4, 4, 4에 대입하여 새로운 평균을 구합니다. → 새로운 평균을 이용해 편차를 구하고, 편차의 제곱의 평균을 계산하여 최종 분산을 구합니다.

함정

미지수 x와 y가 포함된 연립방정식을 푸는 과정에서 계산 실수를 하거나, 새로운 자료의 분산을 구할 때 평균을 다시 구하지 않고 이전 평균 y를 그대로 사용하여 오답을 고를 수 있습니다.

정답

②

필요한 실력

평균과 분산의 공식을 정확히 암기하고, 미지수가 포함된 식을 능숙하게 전개하고 계산하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

평균, 편차, 분산, 표준편차의 뜻과 구하는 공식을 백지에 적어보며 완벽하게 암기합니다.
미지수가 포함된 자료의 평균과 분산을 구하는 유형의 문제를 하루 3~5문제씩 꾸준히 풀어봅니다.
계산 과정이 길어질 때 실수를 줄이기 위해, 풀이 과정을 노트에 차근차근 적는 연습을 합니다.

출제 의도

사분원과 직각삼각형을 이용하여 삼각비의 값을 구하고, 이를 통해 선분의 길이를 계산할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 주어진 삼각비 표를 활용하여 각도를 찾고, 다른 직각삼각형에 적용하는 능력을 봅니다.

풀이 과정

직각삼각형 OAB에서

sin ∠ A O B = \frac{A B}{O A} = \frac{1.2314}{2} = 0.6157

입니다. → 삼각비 표에서

sin 3 8^{\circ} = 0.6157

이므로

∠ A O B = 3 8^{\circ}

임을 알 수 있습니다. → 직각삼각형 OCD에서

tan ∠ C O D = \frac{C D}{O D}

입니다. →

∠ C O D = ∠ A O B = 3 8^{\circ}

이고

O D = 2

이므로,

C D = 2 \times tan 3 8^{\circ}

가 됩니다. → 삼각비 표에서

tan 3 8^{\circ} = 0.7813

이므로

C D = 2 \times 0.7813 = 1.5626

입니다.

함정

①번을 고르기 쉽습니다.

tan 3 8^{\circ}

의 값인 0.7813을 구한 후, 반지름의 길이인 2를 곱하는 것을 잊어버리고 그대로 답으로 선택할 수 있습니다.

정답

③

필요한 실력

사분원 내의 여러 직각삼각형에서 삼각비의 정의를 정확히 적용하고, 표를 읽어 필요한 값을 찾아내는 능력이 필요합니다.

학습 대안

사분원과 관련된 삼각비 문제를 하루에 3문제씩 풀어보며, 반지름의 길이가 1이 아닌 경우 주의하는 연습을 합니다.
삼각비의 정의( $sin$ , $cos$ , $tan$ )를 직각삼각형 그림과 함께 다시 한번 정확히 암기합니다.
문제를 풀 때 구해야 하는 최종 목표(이 문제에서는 $C D$ 의 길이)를 명확히 표시해 두고, 중간에 구한 값을 답으로 착각하지 않도록 주의합니다.

출제 의도

삼각비를 활용하여 실생활 문제 상황에서 변의 길이와 삼각형의 넓이를 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 직각삼각형과 일반 삼각형에서 각도와 변의 길이 관계를 정확히 이해하고 적용하는 능력을 봅니다.

풀이 과정

삼각형 ABD에서 외각의 성질에 의해 ∠ADB = 60° - 30° = 30°이므로, 삼각형 ABD는 이등변삼각형입니다. → 따라서 선분 BD의 길이는 선분 AB의 길이와 같은 30m입니다. (보기 ③ 맞음) → 직각삼각형 BCD에서 선분 CD = 30 × sin60° (보기 ① 맞음), 선분 BC = 30 × cos60° (보기 ② 맞음)입니다. → 선분 AC의 길이는 AB + BC = 30 + 30 × cos60° = 30 + 15 = 45m입니다. (보기 ④ 틀림) → 삼각형 ABD의 넓이는 1/2 × AB × BD × sin(180°-120°) = 1/2 × 30 × 30 × sin60° = 225√3 m²입니다. (보기 ⑤ 맞음)

함정

보기 ①이나 ②를 고를 수 있습니다. 직각삼각형 BCD에서 빗변 BD의 길이를 30m로 구한 후, 삼각비의 정의를 정확히 적용하지 못하면 헷갈리기 쉽습니다.

정답

④

필요한 실력

주어진 각도와 변의 길이를 이용하여 이등변삼각형의 성질을 파악하고, 직각삼각형에서 삼각비를 정확히 적용하여 원하는 변의 길이를 구할 수 있어야 합니다.

학습 대안

특수각(30°, 45°, 60°)의 삼각비 값을 완벽하게 암기하고, 직각삼각형에서 변의 길이를 구하는 연습을 반복하세요.
삼각형의 외각의 성질을 이용하여 숨겨진 각도를 찾고, 이등변삼각형 등 특별한 삼각형을 발견하는 훈련을 하세요.
두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 공식을 복습하고 다양한 문제에 적용해 보세요.

출제 의도

삼각형의 넓이 공식과 각의 이등분선의 성질을 이용하여 부분 삼각형의 넓이를 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

전체 삼각형 ABC의 넓이를 구합니다. (1/2 × 10 × 6 × sin120° = 15√3) → 각의 이등분선의 성질에 의해 선분 BD와 CD의 길이 비가 AB와 AC의 길이 비(10:6 = 5:3)와 같음을 파악합니다. → 삼각형 ABD와 삼각형 ACD는 높이가 같으므로 넓이의 비도 밑변의 길이 비인 5:3이 됩니다. → 따라서 삼각형 ABD의 넓이는 전체 넓이의 5/8에 해당하므로 15√3 × (5/8) = 75√3 / 8 입니다.

함정

전체 삼각형의 넓이인 15√3을 구한 후, 비례배분을 잘못하여 다른 오답을 고르거나 계산 실수로 ①번이나 ②번을 선택할 수 있습니다.

정답

⑤

필요한 실력

삼각형의 넓이 공식과 각의 이등분선의 성질을 결합하여 문제를 해결하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

삼각비를 이용한 삼각형의 넓이 공식을 완벽하게 암기하고, 둔각일 때의 적용법을 연습하세요.
중학교 2학년 과정에서 배운 '삼각형의 내각의 이등분선의 성질'을 복습하고 관련 문제를 풀어보세요.
전체 넓이를 구한 후 비례배분을 통해 부분의 넓이를 구하는 유형의 문제를 반복해서 연습하세요.

논술형 1-1-1번 문항 — ▲ 시험지 논술형 1-1-1번 (분석 목적 인용)

출제 의도

주어진 자료의 평균을 구하는 방법을 알고 있는지 평가하는 문항입니다. 자료의 총합을 구하고, 이를 자료의 개수로 나누어 평균을 계산할 수 있는지 확인합니다.

풀이 과정

자료의 총합 구하기: 5 + 2 + 5 + 3 + 5 + 1 + 4 + 31 + 2 + 2 = 60 → 자료의 개수 확인하기: 학생 수는 10명입니다. → 평균 계산하기: 총합(60)을 자료의 개수(10)로 나눕니다. 60 ÷ 10 = 6 → 정답 작성하기: 평균은 6회입니다.

채점 포인트

자료의 총합을 정확히 구하는 식을 썼는가 (1점) / 평균을 구하는 식을 정확히 썼는가 (1점) / 최종 답을 단위와 함께 정확히 구했는가 (1점)

감점 요인

자료의 총합을 계산할 때 덧셈 실수를 하여 잘못된 값을 구하는 경우가 많습니다. 또한, 평균을 구하는 식을 서술하지 않고 답만 적어 감점될 수 있습니다.

모범 답안

10명의 턱걸이 횟수의 총합은 5 + 2 + 5 + 3 + 5 + 1 + 4 + 31 + 2 + 2 = 60입니다. 따라서 평균은 60 ÷ 10 = 6(회)입니다.

필요한 실력

자료의 총합을 정확히 계산하고, 이를 자료의 개수로 나누어 평균을 구하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

교과서나 문제집에 있는 평균 구하기 기본 문제를 반복해서 풀어보며 계산 실수를 줄이는 연습을 합니다.
서술형 문제에 대비하여 풀이 과정을 생략하지 않고 꼼꼼하게 적는 습관을 기릅니다.
자료의 개수가 많을 때는 덧셈을 두 번씩 확인하여 실수를 방지합니다.

논술형 1-1-2번 문항 — ▲ 시험지 논술형 1-1-2번 (분석 목적 인용)

출제 의도

자료의 개수가 짝수일 때 중앙값을 구하는 방법을 정확히 알고 있는지 평가하는 문항입니다. 자료를 크기순으로 나열하고, 가운데 두 값의 평균을 구하는 과정을 서술할 수 있는지 확인합니다.

풀이 과정

주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열합니다. → 자료의 개수가 10개(짝수)임을 확인합니다. → 5번째 값(3)과 6번째 값(4)을 찾습니다. → 두 값의 평균을 구하여 중앙값을 계산합니다: (3+4)/2 = 3.5

채점 포인트

자료를 크기순으로 바르게 나열했는가 (1점) / 자료의 개수가 짝수임을 파악하고 중앙값을 구하는 식을 바르게 세웠는가 (2점) / 중앙값을 정확히 계산하여 답을 구했는가 (1점)

감점 요인

자료를 크기순으로 나열하지 않고 원래 순서대로 가운데 값을 찾는 실수를 할 수 있습니다. 자료의 개수가 짝수일 때 가운데 두 값의 평균을 구해야 하는데, 두 값 중 하나만 선택하거나 계산 실수를 하여 감점될 수 있습니다.

모범 답안

주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 31입니다. 자료의 개수가 10개로 짝수이므로, 중앙값은 5번째 값과 6번째 값의 평균입니다. 5번째 값은 3, 6번째 값은 4이므로 중앙값은 (3+4)/2 = 3.5(회)입니다.

필요한 실력

자료를 크기순으로 나열하고, 자료의 개수가 홀수인지 짝수인지에 따라 중앙값을 구하는 방법을 정확히 적용할 수 있어야 합니다.

학습 대안

교과서나 문제집에서 대푯값 단원의 기본 개념을 다시 읽어보고, 중앙값의 정의를 확실히 이해합니다.
자료의 개수가 홀수인 경우와 짝수인 경우의 중앙값 구하는 문제를 각각 5문제 이상 풀어보며 차이점을 익힙니다.
서술형 문제에 대비하여 풀이 과정을 생략 없이 꼼꼼하게 적는 연습을 합니다.

논술형 1-1-3번 문항 — ▲ 시험지 논술형 1-1-3번 (분석 목적 인용)

출제 의도

자료에 극단적인 값이 있을 때 평균과 중앙값 중 어떤 대푯값이 더 적절한지 판단하고, 그 이유를 설명할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

자료의 분포를 확인합니다. → 자료 중에 다른 값들과 차이가 크게 나는 극단적인 값이 있는지 찾습니다. → 극단적인 값이 있다면 평균은 그 값의 영향을 크게 받으므로 대푯값으로 적절하지 않음을 이해합니다. → 따라서 극단적인 값의 영향을 덜 받는 중앙값이 대푯값으로 더 적절함을 결론짓고 이유를 서술합니다.

채점 포인트

적절한 대푯값으로 '중앙값'을 정확히 제시했는가 (1점) / 이유에 '극단적인 값'이 포함되어 평균이 왜곡된다는 점을 논리적으로 서술했는가 (2점)

감점 요인

적절한 대푯값으로 중앙값을 고르더라도, 그 이유를 '극단적인 값'이라는 핵심 용어를 사용하지 않고 모호하게 설명하면 감점될 수 있습니다. 또한, 평균이 왜곡된다는 점을 명확히 짚지 않으면 온전한 점수를 받기 어렵습니다.

모범 답안

적절한 대푯값: 중앙값 이유: 주어진 자료에 다른 값들에 비해 매우 크거나 작은 극단적인 값이 포함되어 있기 때문에, 평균을 구하면 이 극단적인 값의 영향을 크게 받아 자료 전체의 특징을 제대로 나타내지 못할 수 있습니다. 따라서 극단적인 값의 영향을 덜 받는 중앙값이 대푯값으로 더 적절합니다.

필요한 실력

자료의 특성에 따라 평균과 중앙값의 장단점을 비교하고 적절한 대푯값을 선택하는 능력

학습 대안

교과서에서 대푯값(평균, 중앙값, 최빈값)의 뜻과 각각의 특징을 다시 한번 정리해 보세요.
극단적인 값이 포함된 자료와 그렇지 않은 자료를 비교하며 평균과 중앙값이 어떻게 달라지는지 직접 계산해 보는 연습을 하세요.
서술형 문제에 대비하여 '극단적인 값', '영향을 받는다' 등의 수학적 용어를 사용하여 이유를 명확하게 글로 쓰는 연습을 꾸준히 하세요.

출제 의도

직각삼각형에서 삼각비의 뜻을 정확히 알고, 주어진 변의 길이와 각도를 이용하여 다른 변의 길이를 구하는 식을 세울 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

원뿔의 꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선의 발이 H이므로 삼각형 ABH는 직각삼각형입니다. → 빗변의 길이

A B = 10 cm

이고,

∠ A B H = 3 0^{\circ}

입니다. → 구하고자 하는 높이

A H

는

∠ A B H

의 대변입니다. → 따라서 사인(sin)을 이용하여

sin 3 0^{\circ} = \frac{A H}{A B}

식을 세울 수 있습니다. →

A H = 10 \times sin 3 0^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 cm

가 됩니다.

채점 포인트

sin 3 0^{\circ}

를 이용한 올바른 식을 세웠는가? (2점) 2. 삼각비의 값을 정확히 대입하여 최종 높이 값을 구했는가? (2점)

감점 요인

1. 문제에서 요구한 대로

sin 3 0^{\circ}

cos 3 0^{\circ}

tan 3 0^{\circ}

중 하나를 이용한 '식'을 명시하지 않고 바로 답만 적으면 감점될 수 있습니다. 2.

sin

cos

tan

의 정의를 헷갈려 잘못된 삼각비를 선택하는 실수를 할 수 있습니다. 3. 특수각의 삼각비 값(

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

)을 잘못 기억하여 계산 실수로 이어질 수 있습니다.

모범 답안

직각삼각형 ABH에서 $∠ A B H = 3 0^{\circ}$ 이고 빗변 $A B = 10 cm$ 입니다. 높이 $A H$ 를 구하기 위해 사인(sin)을 이용하면, $sin 3 0^{\circ} = \frac{A H}{A B} = \frac{A H}{10}$ 입니다. 따라서 식은 $A H = 10 \times sin 3 0^{\circ}$ 이고, $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ 이므로, $A H = 10 \times \frac{1}{2} = 5 (cm)$ 입니다.

필요한 실력

직각삼각형에서 기준각에 따른 빗변, 밑변, 높이를 구분하고, 알맞은 삼각비를 선택하여 식을 세우는 능력이 필요합니다.

학습 대안

직각삼각형을 다양한 방향으로 그려놓고, 기준각을 바꿔가며 $sin$ , $cos$ , $tan$ 값을 구하는 연습을 매일 5문제씩 해보세요.
$3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ 등 특수각의 삼각비 표를 백지에 완벽하게 적을 수 있을 때까지 반복해서 암기하세요.
서술형 문제에 대비하여, 머릿속으로 계산한 과정을 생략하지 않고 논리적인 순서대로 노트에 적는 연습을 꾸준히 하세요.

출제 의도

직각삼각형에서 삼각비의 뜻을 정확히 알고, 주어진 변의 길이와 각도를 이용하여 다른 변의 길이를 식으로 나타내고 값을 구할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

문제에서 주어진 직각삼각형 ABH를 파악합니다. → 기준각이 30°이고 빗변(모선)의 길이가 10cm임을 확인합니다. → 구해야 하는 밑면의 반지름

B H

는 기준각 30°와 이웃한 변이므로 코사인(cos) 비율을 사용해야 함을 떠올립니다. →

cos 3 0^{\circ} = \frac{B H}{10}

식을 세웁니다. → 식을 정리하여

B H = 10 \times cos 3 0^{\circ}

로 나타내고,

cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

을 대입하여 값

53

을 구합니다.

채점 포인트

밑면의 반지름

B H

를 구하는 올바른 식(

10 \times cos 3 0^{\circ}

)을 제시했는가 (2점), 계산을 통해 정확한 값(

53

)을 구했는가 (2점)로 나뉘어 채점될 것입니다. 단위를 누락하면 감점될 수 있습니다.

감점 요인

사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan) 중 어떤 삼각비를 사용해야 할지 헷갈려 잘못된 식을 세우는 실수가 가장 흔합니다. 또한, 특수각의 삼각비 값을 정확히 외우지 못해 계산 과정에서 틀리거나, 단위(cm)를 빼먹어 감점될 수 있습니다.

모범 답안

식: $10 \times cos 3 0^{\circ}$ (또는 $B H = 10 cos 3 0^{\circ}$ ), 값: $53$ cm

필요한 실력

직각삼각형에서 기준각에 따른 세 변의 관계를 삼각비로 표현하고, 특수각의 삼각비 값을 정확히 암기하여 계산할 수 있어야 합니다.

학습 대안

직각삼각형을 다양한 방향으로 그려놓고, 기준각을 바꿔가며 sin, cos, tan 값을 분수 형태로 나타내는 연습을 하루 10문제씩 꾸준히 하세요.
30°, 45°, 60° 특수각의 삼각비 표를 백지에 완벽하게 그릴 수 있을 때까지 반복해서 외우고 테스트해 보세요.
서술형 문제를 풀 때는 구하고자 하는 값을 식으로 먼저 나타낸 후, 값을 대입하여 계산하는 과정을 꼼꼼히 적는 습관을 들이세요.

출제 의도

원뿔의 부피를 구하는 공식을 정확히 알고, 주어진 조건(밑면의 반지름, 높이)을 대입하여 계산할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 앞선 문제에서 구한 값을 활용하여 최종 결과를 도출하는 능력을 확인합니다.

풀이 과정

원뿔의 부피 공식 확인: V = 1/3 × (밑넓이) × (높이) → 밑넓이 계산: π × r² (앞 문제에서 구한 반지름 r 대입) → 높이 확인: 앞 문제에서 구한 높이 h 대입 → 부피 계산: 1/3 × (밑넓이) × h를 계산하여 최종 부피 V 도출

채점 포인트

밑넓이를 정확히 구한 경우 부분 점수 부여, 높이를 정확히 대입한 경우 부분 점수 부여, 최종 부피 V의 값을 정확히 계산하고 단위를 포함하여 서술한 경우 만점 부여 (총 2점)

감점 요인

원뿔의 부피 공식에서 1/3을 곱하는 것을 잊어버리는 실수가 잦습니다. 또한, 앞선 문항에서 반지름이나 높이를 잘못 구했다면 이 문제에서도 연쇄적으로 오답이 나올 수 있습니다. 단위(cm³)를 누락하거나 잘못 적어 감점될 수도 있습니다.

모범 답안

원뿔의 밑면의 반지름을 r, 높이를 h라고 하면, 앞선 문제에서 r = 5√3, h = 5입니다. 원뿔의 부피 V = 1/3 × πr² × h 이므로, V = 1/3 × π × (5√3)² × 5 = 1/3 × π × 75 × 5 = 125π (cm³) 입니다.

필요한 실력

원뿔의 부피 공식을 암기하고, 이전 단계에서 구한 값을 정확하게 대입하여 계산하는 능력이 필요합니다.

학습 대안

입체도형의 부피 공식(기둥, 뿔, 구)을 백지에 적어보며 완벽하게 암기합니다.
서술형 문제 풀이 시, 공식을 먼저 적고 숫자를 대입하는 과정을 생략 없이 쓰는 연습을 합니다.
계산 실수를 줄이기 위해, 식을 세운 후 다시 한번 확인하는 습관을 들입니다.

출제 의도

삼각형의 넓이를 구하는 공식(두 변의 길이와 그 끼인각의 사인값 이용)을 정확히 이해하고, 주어진 조건에 맞게 변형된 삼각형의 넓이를 계산할 수 있는지 평가하는 문항입니다.

풀이 과정

정삼각형 ABC의 한 변의 길이가 12cm이므로, AB=12, AC=12, ∠A=60°, ∠C=60°임을 파악합니다. → (가) 삼각형은 AB=12, AC=12이고 ∠A가 2배가 되어 120°가 됩니다. 넓이 공식

\frac{1}{2} \times 12 \times 12 \times sin (18 0^{\circ} - 12 0^{\circ})

를 적용하여 계산합니다. → (나) 삼각형은 ∠C=60° 그대로이고, AC가 2배가 되어 24, BC는 원래대로 12입니다. 넓이 공식

\frac{1}{2} \times 12 \times 24 \times sin 6 0^{\circ}

를 적용하여 계산합니다.

채점 포인트

삼각형 (가)의 넓이를 구하는 식을 바르게 세우고 계산하여 답을 도출했는가 (4점), 삼각형 (나)의 넓이를 구하는 식을 바르게 세우고 계산하여 답을 도출했는가 (4점). 단, 문제 조건에 따라 두 변의 길이와 끼인각을 이용한 식을 명시하지 않으면 감점될 수 있습니다.

감점 요인

둔각삼각형의 넓이를 구할 때

sin (18 0^{\circ} - 둔각)

을 적용하지 않고 그대로 둔각을 사용하여 계산식을 세우지 못하는 실수가 잦습니다. 또한, (나) 삼각형에서 변형된 변의 길이와 원래 유지되는 변의 길이를 헷갈려 잘못된 값을 대입하는 경우가 있습니다.

모범 답안

(가)의 넓이를 구하는 과정: 삼각형 (가)는 두 변의 길이가 12cm, 12cm이고 끼인각이 $6 0^{\circ} \times 2 = 12 0^{\circ}$ 인 둔각삼각형입니다. 따라서 넓이는 $\frac{1}{2} \times 12 \times 12 \times sin (18 0^{\circ} - 12 0^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{3}{2} = 363 (cm^{2})$ 입니다. (나)의 넓이를 구하는 과정: 삼각형 (나)는 두 변의 길이가 12cm, $12 \times 2 = 24 cm$ 이고 끼인각이 $6 0^{\circ}$ 인 삼각형입니다. 따라서 넓이는 $\frac{1}{2} \times 12 \times 24 \times sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} \times 288 \times \frac{3}{2} = 723 (cm^{2})$ 입니다.

필요한 실력

두 변의 길이와 그 끼인각이 주어졌을 때 예각과 둔각에 따른 삼각형의 넓이 공식을 정확히 적용할 수 있어야 합니다.

학습 대안

삼각비를 이용한 삼각형의 넓이 공식(예각, 둔각)을 백지에 적어보고, 각 공식이 어떻게 유도되는지 그림을 그려가며 이해합니다.
교과서나 문제집에서 두 변과 끼인각이 주어진 다양한 형태의 삼각형(특히 둔각삼각형) 넓이 구하기 문제를 하루 5문제씩 풀어보며 계산 실수를 줄입니다.
문장으로 주어진 도형의 변형 조건을 읽고, 직접 그림을 그려 변의 길이와 각도를 표시하는 연습을 합니다.

출제 의도

두 삼각형의 넓이를 각각 구하고, 그 차이를 정확하게 계산할 수 있는지 평가하는 문항입니다. 삼각비를 활용하여 삼각형의 넓이를 구하는 공식을 이해하고 적용할 수 있는지 확인합니다.

풀이 과정

삼각형 (가)의 넓이 구하기 → 삼각형 (나)의 넓이 구하기 → 두 넓이의 차 계산하기

채점 포인트

삼각형 (가)의 넓이를 정확히 구했는가 (부분 점수 부여 가능), 삼각형 (나)의 넓이를 정확히 구했는가 (부분 점수 부여 가능), 두 넓이의 차를 올바르게 계산하여 최종 답을 도출했는가 (전체 점수 부여).

감점 요인

삼각형의 넓이를 구하는 공식에서 1/2을 곱하는 것을 잊어버리는 실수가 잦습니다. 또한, 무리수(제곱근)의 뺄셈 계산에서 실수를 하여 오답을 내는 경우가 있습니다.

모범 답안

삼각형 (가)의 넓이는 36√3 이고, 삼각형 (나)의 넓이는 72√3 입니다. 따라서 두 삼각형의 넓이의 차는 72√3 - 36√3 = 36√3 입니다.

필요한 실력

삼각비를 이용한 삼각형의 넓이 공식을 정확히 알고, 무리수의 연산을 실수 없이 해낼 수 있어야 합니다.

학습 대안

삼각비를 이용한 삼각형의 넓이 공식을 다시 한번 암기하고, 다양한 형태의 삼각형 넓이를 구하는 연습을 합니다.
제곱근이 포함된 식의 덧셈과 뺄셈 연산 연습을 충분히 하여 계산 실수를 줄입니다.
서술형 문제에 대비하여 풀이 과정을 논리적이고 깔끔하게 적는 연습을 합니다.

05다음 시험 대비 계획

이번 시험 경향으로 본 이 학교 맞춤 공부 순서

4주 전

이전 학년 도형(닮음, 피타고라스) 및 이차함수 핵심 개념 복습
대푯값과 산포도 기본 공식 암기 및 단순 계산 반복 훈련

2주 전

분산 공식을 활용한 미지수 유추 및 이차방정식 연계 문항 집중 풀이
삼각비를 활용한 삼각형 넓이 및 입체도형 길이 구하기 심화 문제 접근

1주 전

서술형 30점 배점에 맞춘 단계별 풀이 과정 작성 및 감점 요인 점검
실제 기출문제로 45분 시간 배분 모의고사 실시 및 오답 노트 정리

팀스영어수학학원 분석 · 난이도와 해설은 학원 분석 기준이며 학교 공식 자료가 아닙니다